Calcolo, Page 3 Categoria

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{1-3x}{x-1}$

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Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{2x-1}{x-3}$

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Le disequazioni pongono un limite, un confronto tra due quantità, e la sfida è rendere costante una delle due quantità, cioè trasformare la disequazione in qualcosa di simile a x>n, con n noto (es. x>9/5).

In una disequazione le operazioni più comuni sono la somma (sottrazione) e il prodotto (divisione) per entrambi i membri, per esempio:

3x+5>0 diventa, sommando -5 a entrambi i membri, -5+3x+5>0-5, che diventa, dividendo entrambi i membri per 3: 3x/3>-5/3 e quindi x>-5/3

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Errore

Copia. Tutti. I. Maledetti. Numeri.

Non puoi perderti per strada i numeri, se c'è scritto 2x sopra non può diventare x sotto.

Copia. Tutti. I. Maledetti. Segni.

-2x non è uguale a 2x.

Per quanto sia palloso, nello studio del segno/dominio devi sempre indicare se il numero-limite fa parte o no del dominio (pallino nero/pallino bianco). Se non lo fai, è un errore che potevi FACILMENTE evitare e può pesare molto.

Quando devi trovare il segno di un'espressione, NON sviluppare, ma semplifica: es. -2x>0 quando... x<0, non x<1/2!!!

Suggerimenti

4+3

4 cose da superiori: dominio, intersezione assi, parità, segno

3 cose da analisi: limite, derivata prima, derivata seconda

Verifica della coerenza

Lo studio del segno è compatibile con la direzione della derivata?

dx e c

Quando scrivi il segno di integrale ∫ la mano deve scrivere da sola, automaticamente dx.

Quando risolvi un integrale la mano deve scrivere da sola, automaticamente +c

(occhio, se fai integrali per sostituzione non scrivere dx, ma dt, dh, d(quello con cui hai sostituito!) (ma non dimenticarlo che è importante)

Esponenti e radici

La derivata di x² è 2x, questo si sa. La derivata di xⁿ con n∈ℕ è nx^n-1, quindi per esempio x⁵² ha per derivata 52x⁵¹. Il discorso non cambia per x^q con q∈ℚ (in realtà neanche con x^r, r∈ℝ), quindi la derivata di una radice quadrata è come la derivata di una potenza ½: √x = x^½, quindi (√x)' = ½x^½-1 = ½x^-½ = ½√(1/x), ma siccome √1 = 1:

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

La derivata di ⁵√x³ è come la derivata di x^⅗, cioè ⅗x^⅗-1 = ⅗x^-⅖ = ⅗⁵√x^-2 =

$\frac{3}{5}{x}^{\frac{3}{5}-1}=\frac{3}{5}{x}^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5}\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}=\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$

1. Si riporta la frazione
2. Si abbassa di un grado l'esponente (x^3 diventa x^2)
3. Se abbassando l'esponente di uno si ottiene un numero negativo (⇒ l'esponente è minore della radice), si fa il reciproco di x (x => 1/x)

e la derivata di un esponente razionale è servita. In realtà siccome esponenti e radici non sono che due facce della stessa medaglia, entrambe si possono ricondurre a questa soluzione. Keep reading →

E va bene, è facile.

Però è la prima che mi viene senza l'aiuto di Wolfram|Alpha, ed è completamente giusta.
Magari potevo semplificare (x-1) nel calcolo della derivata seconda, ma il risultato non cambia.

Studiando calcolo mi sono accorto che tutti i numeri sono importanti, ma uno lo è più degli altri: il diciotto.

Ecco l'elenco, con qualche annotazione:

1. Ricopiare la funzione
2. Trovare il dominio: Numeri reali eccetto
   • Gli zeri al denominatore
   • I numeri < 0 sotto radice
   • I numeri ≤ 0 nei logaritmi
   • Combinazioni dei casi precedenti

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