9. Derivate in un punto e funzione derivata

La lezione 9 ha riguardato:

• Calcolo della derivata di una funzione in un punto
• Calcolo della funzione derivata di una funzione

Calcolo della derivata di una funzione in un punto

Sia f:I→ℝ, x₀∈I (non è un estremo)
Se esiste

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

tale limite si dice derivata di f nel punto x₀ e si indica con f'(x₀)

$\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

si dice rapporto incrementale e rappresenta come varia la funzione al variare di ε

La derivata in un punto x₀ è la retta tangente al grafico di una funzione f nel punto (x₀, f(x₀)).

La retta (di equazione y=mx+q) è tangente al grafico di f(x₀) se:

1. passa per il punto (x₀, f(x₀))
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-\left(m,x,+,q\right)}{x-x_0}=0$

Per (1) si deve avere che mx₀+q=f(x₀) ⇔ q=f(x₀)-mx₀
Quindi:

$y=\underset{\text{Coefficiente angolare}}{\underbrace{mx}}+\underset{\text{Costante q}}{\underbrace{f\left(x_0\right)-m{x}_0}}=m\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Troviamo m (coefficiente angolare).
Usiamo (2), sostituendo q:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-\left(f\left(x_0\right)+m\left(x,-,x_0\right)\right)}{x-x_0}=0$

dal momento che x-x₀ tende a zero,

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{m\left(\sout{x-x_0}\right)}{\sout{x-x_0}}$

m è la derivata di f nel punto x₀

L'equazione finale della tangente al grafico f di (x₀, f(x₀)):
y=f'(x₀)·(x-x₀)+f(x₀)

Esempi di derivate

Derivata di una costante

Se f(x)=C costante
poniamo x₀=2
calcoliamo f'(2):

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-C}{x-2}=\frac{C-C}{2-2}=0$

Derivata di una radice

Se f(x)=√2
poniamo x₀=1
calcoliamo f'(1):

$\underset{h\to \mathrm{o}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}$

Si moltiplica tutto per

$\sqrt{h+1}+1$

e si ottiene

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{h+1}-\sqrt{1}\right)·\left(\sqrt{h+1}+1\right)}{h·\sqrt{h+1}+1}$

semplificabile in

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sout{1}+\sout{h}-\sout{1}}{\sout{h}·\sqrt{h+1}+1}$

siccome √1 = 1, per h che tende a zero il limite è 1/2.

Limite di sin(x)/x

è uno. Punto.
Se vuolete ve lo dimostrate da soli.

Limite del valore assoluto di x

Se f(x)=|x|
poniamo x₀=0
calcoliamo f'(0):

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left|x\right|}{\mathrm{x}}$

Poniamo i due casi:

1. $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|x\right|}{\mathrm{x}}=1$
2. $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|x\right|}{\mathrm{x}}=-1$

Il punto 0 ha un limite sinistro diverso dal limite destro e quindi non è derivabile.

Calcolo della funzione derivata di una funzione

Il passo successivo al calcolo della derivata in un punto è trovare la funzione i cui punti rappresentano la derivata di tutti i punti della funzione.

Esempi di funzioni derivate

Derivata di una costante

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{C-C}{h}=0$

Limite del valore assoluto di x

con f(x) = |x| e x=0 la funzione non è derivabile.
Per x>0:

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}=1$

Per x<0:

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}=-1$

Derivata di x²

Per f(x) = x²:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sout{x^2}+2xh+h^{\sout{2}}-\sout{x^2}}{\sout{h}}=2x$

Derivata di x^1/2

La derivata di √x (x≥0) è ricavabile direttamente o tramite la generalizzazione della derivata di xⁿ, riportata più avanti.
La dimostrazione seguente è diretta:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}·\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sout{x}+\sout{h}-\sout{x}}{\sout{h}\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Derivata di xⁿ

La dimostrazione per qualunque n∈ℕ della derivata di xⁿ non è banale come dimostrare i singoli casi specifici.
Per questa dimostrazione, essendo n∈&naturals ignoto a priori ma finito, è possibile risolvere la derivata trasformando xⁿ in una serie, in cui si trasforma (x+h)ⁿ nel primo termine e xⁿ nel secondo termine:

$a^n-b^n=\left(a-b\right)·\left(a^{n-1}+a^{n-2}·b+a^{n-3}·b^2+\text{...}+a·b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^n-x^n}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sout{x}+\sout{h}-\sout{x}+\stackrel{\text{n volte}}{\overbrace{\left({\left(x+h\right)}^{n-1}+{\left(x+h\right)}^{n-2}·x+{\left(x+h\right)}^{n-3}·x^2+\text{...}+\left(x+h\right)·x^{n-2}+x^{n-1}\right)}}}{\sout{h}}={nx}^{n-1}$

In realtà questa formula è estendibile anche a ogni n∈ℝ

Derivata di 1/x

Il limite per f(x)=1/x, x≠0 è:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{x+h}+\frac{1}{x}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x+h}+\frac{1}{x}\right)·\frac{1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{\stackrel{\text{cambiare il segno anche a h}}{x-x-h}}{\left(x+h\right)·h}+\frac{1}{x}\right)·\frac{1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{h}{h·x·\left(x+h\right)}\right)=\frac{1}{x^2}$

Proprietà delle derivate

Se f e g sono definite in un intervallo I e sono derivabili in x₀∈I allora si ha:

1. se c∈ℝ ⇒ (cf) è derivabile in x₀ e (cf)(x₀) = cf'(x₀)
2. f±g è derivabile in x₀ e (f±g)'(x₀) = f(x₀)±g(x₀)
3. f·g è derivabile in x₀ si ha (f·g)'(x₀) = f'(x₀)g(x₀)+f(x₀)g'(x₀)
4. se g(x₀)≠0 ⇒ (f/g)'(x₀) =
   $\frac{\mathrm{f\text{'}}\left(x_0\right)g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)\mathrm{g\text{'}}\left(x_0\right)}{{\left(g\left(x_0\right)\right)}^2}$

Quest'ultima parte è estremamente utile nella pratica del calcolo delle derivate, poiché rende possibile la suddivisione della funzione in parti più facilmente derivabili, poi ricomponibili tramite le operazioni sulle derivate.

5. Se la funzione f è continua e derivabile in un intervallo I, la derivata della sua inversa f^-1 è 1/f'(x)

Il punto 5 è facilmente dimostrabile tramite la composizione di f e f^-1 = 1