Calcolo dei limiti - esercizio medio

limx-∞x+x2+2

intuitivamente, se il limite di x tende a -∞ e il limite di √x2 tende a +∞, i due termini tendono ad annullarsi e il limite è zero, ma sotto radice c'è quel +2 che rovina i piani. Siccome 2 è una costante, dovrebbe contare sempre meno nel limite, ma allora il limite qual è? E possiamo dimostrarlo?

Dobbiamo riuscire a separare x2 da +2, ma come? La risposta è che raccogliamo x2!

Ovviamente l'obiezione che verrebbe da fare è che uno dei due termini ha x2, ma l'altro no, e allora cosa raccogliamo? Qui serve una piccola magia.

Normalmente siamo abituati a semplificare il più possibile un'espressione, ma qui dobbiamo riflettere sul fatto che

2=2x2x2

Se riscriviamo il limite come

limx-∞x+x2+2x2x2

ecco che possiamo raccogliere il x2 come volevamo:

limx-∞x+x2(1+2x2)

applichiamo la regola che ci permette di "separare" due termini di un prodotto sotto radice:

limx-∞x+x21+2x2

Al (de)crescere di x, la seconda radice tende a 1, che moltiplica un x sempre positivo (infatti √x2 è uguale a |x|, cioè al valore assoluto di x).

In pratica, ci siamo sbarazzati, nel limite, del "+2" e abbiamo dimostrato che il limite è quindi zero. ∎