8. Limiti e cenno di derivata

La lezione 8 ha riguardato:

  • Esempi di limiti
  • Teoremi sulle successioni monotòne

Esempi di limiti

f(x)=1xse x∈[-1,1]\{0}f(x)=0se x=0
  • f non è continua in zero
  • limx0+=+∞
  • limx0-=-∞
  • 0 è asintoto verticale
  • f(x) non ha né minimo né massimo e non è limitato perché non è continuo in zero (ha asintoto ma non limite)
  • i teoremi dei valori intermedi e di Weierstraß necessitano di una funzione continua, quindi non sono applicabili

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Appunti di calcolo / tu sopra io sotto, ovvero le equazioni razionali

Regola generale: se il divisore e il dividendo sono uguali, il risultato è un valore costante 1 con dominio ℝ\{0} (per tutta la trattazione si esclude implicitamente o esplicitamente quandi il divisore è zero)
Se sono diversi, appare un'iperbole (magari "distorta"), nei quadranti 1, 3 se la frazione ha segno positivo, nei quadranti 2, 4 se ha segno negativo. Keep reading →

Appunti di calcolo / riflessioni (piccole piccole) sulle equazioni di terzo grado

Leggevo su qualche libro che per risolvere tutte le soluzioni delle equazioni di III grado è necessario conoscere (bene) i numeri complessi ℂ, ma dopo l'ultima lezione sulle derivate improvvisamente sono diventato "esperto" di queste equazioni.

In particolare, sono rimasto molto colpito da come è possibile far corrispondere una funzione di III grado con una di II che ne rappresenta la funzione derivata. Keep reading →

Appunti di calcolo / funzioni di secondo grado

Dopo aver scritto un piccolo riepilogo sulle parabole e la corrispondenza tra grafico e termini dell'equazione, facciamo qualche considerazione sul significato di vertice.

Grafico dell'equazione 2x^2-4x-7
Grafico dell'equazione 2x^2-4x-7

Definiamo il vertice della parabola V=(p,q) e definiamo a, b, c, nella maniera "classica" i fattori che moltiplicano rispettivamente x2, x1 (cioè x), x0 (quindi c è costante): in pratica l'equazione della parabola è ax2+bx+c.

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7. Limiti e asintoti

La lezione 7 ha riguardato:

  1. Esempi di limiti
  2. Asintoti
  3. Teoremi sulle funzioni continue

Esempi di limiti

Dimostrazione che (1+t)n≥1+nt (disuguaglianza di Bernoulli)

Con t∈ℝ e t>-1, ∀ n∈ℕ

1+tn1+nt

Dim. per induzione (1) base: per n=1, (1+t)1 = 1+t ≥ 1+(1·t) = 1+t (2) passo induttivo: Supponiamo per n>1

1+tn1+nt

Sviluppiamo calcolando il passo n+1, moltiplicando entrambi i membri per 1+t

1+tn+11+nt·1+t 1+tn+11+t+nt+nt2

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Appunti di calcolo / trigonometria

Per la trattazione di questo tema parto dal sapere già come sono rappresentati il seno e il coseno in una circonferenza goniometrica, perché, sì, ho fatto il classico, però fino a qui ci sono.

Il bello di seno e coseno è che elevando al quadrato i due valori si ottiene sempre la retta che - nel contesto della circonferenza goniometrica - vale sempre 1.

Quindi: sin(x)2+cos(x)2=12, che è sempre 1.

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