Maggio 2016 Archive

Segue il primo articolo.

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è la combinazione di un gruppo abeliano e di un campo.
Il gruppo abeliano rappresenta un insieme di vettori, in cui sono presenti la somma e l'elemento neutro, mentre il campo rappresenta i coefficienti, con somma, prodotto, zero e uno.

Il campo di coefficienti (che chiameremo K) è assimilabile all'insieme dei numeri reali ℝ (ma "funziona" anche con i razionali ℚ) in cui le operazioni sono somma e prodotto, e gli elementi neutri sono zero e uno, a patto che dall'insieme sia escluso lo zero, perché 1/0 non è un'operazione possibile.

Il gruppo abeliano dei vettori (che chiameremo V) è assimilabile all'insieme ℝ con l'operazione di somma e l'elemento neutro zero.

Inoltre è definito un "prodotto esterno", cioè un'operazione per cui VxK→V.

Rispetto al prodotto tra due numeri, il prodotto esterno di uno spazio vettoriale

• è associativo
• è distributivo rispetto alla somma
• ha un elemento di identità ∈ K tale che Vx1_V=V
• non è commutativo

Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale sottoinsieme di un altro spazio vettoriale chiuso per il prodotto scalare (cioè se faccio il prodotto scalare in un sottospazio vettoriale, il risultato è incluso nel sottospazio).

Vettori linearmente indipendenti

Due vettori si dicono linearmente dipendenti se esiste un coefficiente a per cui av₁ = v2.

L'insieme dei vli determina una base (vedi oltre).

Funzione lineare

Siano U, V spazi vettoriali sul campo K

Una funzione lineare f è tale se:

1. f(x+y) = f(x)+f(y)
2. f(αx) = αf(x) con α∈K e x ∈U

Rango

Il rango è il numero di righe o colonne tra loro linearmente indipendenti.

Immagine

Data una funzione lineare f:V→W, l'immagine di f è l'insieme di elementi w tali che f(v) = w.
Intuitivamente (non è la definizione "da libro"!!!) è simile al codominio di una funzione.

Kernel

Sia f:U→V una funzione lineare.

Il kernel di f (denotato anche come kerf) è l'insieme di vettori la cui immagine è il vettore nullo.

La dimensione del kernel si può calcolare come dimensione del sottospazio meno la dimensione dell'immagine.

Semigruppo

Un insieme S con un'operazione · che si rappresenta con (S, ·). (insieme + operazione = semigruppo)

L'operazione · è detta binaria su S, perché S · S → S

L'operazione · è associativa, cioè (a·b)·c = a·(b·c)

Esempi: la somma in ℕ, il prodotto in ℕ

Monoide

Un monoide è un semigruppo in cui è definito anche un elemento neutro appartenente all'insieme.

Esempi: la somma nei numeri naturali (zero compreso) (ℕ, +, 0), il prodotto nei numeri interi e lo zero (ℤ, ·, 1)

Relazione

Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi.

Esempi: A = {a, b}, B = {1, 2}, R₁ = {(a, 1), (b, 1)} ⊆ A x B

Funzione

Una funzione è una relazione in cui è definita un'associazione tra gli elementi del primo e quelli del secondo insieme.

I due insiemi non sono equivalenti, infatti si scrive A → B, perché a ogni elemento A è associato un solo elemento di B, mentre non è vero il contrario.

Per esempio, y = x² per x = -2 o x = +2, y è sempre +4 (quindi y può essere "raggiunto" in due modi diversi), mentre invertendo la funzione, √4 dà luogo a due possibili risultati (±2). La funzione y = sin(x) dà un risultato compreso tra -1 e 1 in modo periodico, quindi f(x) = 0 per kπ, con k ∈ ℕ. La sua inversa, arcsin(x), è una funzione solo se è definita in un intervallo (per esempio, ±π).

Iniettività e suriettività sono già state trattate in precedenza.

Semigruppo delle funzioni

Il carattere ∘ rappresenta la composizione di funzioni. In pratica, scrivere f∘g(x) è come scrivere f(g(x)).

La composizione è associativa, quindi f∘(g∘h) = (f∘g)∘h.

Attenzione! La composizione NON è commutativa, quindi f∘g è diverso da g∘f!

Monoide delle funzioni

Un monoide di una funzione è definito da una funzione, un'operazione associativa e un elemento neutro.

Per esempio, (f(x) = x², ∘, f(x) = x+0)

Sottosemigruppo

Un ssg è un sottoinsieme A di un semigruppo B in cui l'operazione ♦ è la stessa e a ♦ b ∈ A

Sottomonoide

Un sm è un sottosemigruppo di un monoide in cui l'elemento neutro appartiene al sottomonoide.

Morfismi

Si dice omomorfismo tra due monoidi (M, +_M, 1_M) e (N, +_N, 1_N) una funzione f per cui f(x+_My) = f(x)+_Nf(y).
È il caso del logaritmo in base e, per cui log_e(x*y) = log_e(x)+log_e(y).

Si dice endomorfismo di un monoide (M, +_M, 1_M) una funzione f per cui f(x+_My) = f(x)+_Mf(y). In pratica, è un omomorfismo su se stesso.

Si dice isomorfismo quando il morfismo è biiettivo, cioè formato da due funzioni biiettive.

Si dice automorfismo un isomorfismo di una funzione in se stessa (quindi è un endomorfismo biiettivo).

Gruppi

Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento è invertibile.

Per intenderci, (ℤ, +, 0) è un gruppo, perché per ogni x ∈ ℤ esiste un elemento che ne è l'inverso (visto che si parla di somma, -x).

Invece (ℕ, +, 0) no, perché -x non appartiene all'insieme.

Altro esempio: (ℝ, *, 1), dove * è l'operatore di moltiplicazione, non lo è, perché per x=0, l'inverso di x sarebbe 1/0.

Se l'operazione è commutativa, si chiama gruppo abeliano.

Classi resto

Già viste in matematica discreta, una classe resto è un insieme di insiemi in cui tutti gli elementi danno lo stesso resto di una divisione.

Per esempio, ℤ_{≡ 7} è l'insieme di sette insiemi di resti di una divisione per sette.

Il primo insieme contiene tutti i numeri interi che, divisi per sette danno come resto zero: {0, 7, -7, 14, -14, ...}

Il secondo tutti i numeri che danno resto 1: {1, 8, -6, 15, -13...}

e così via, fino all'insieme di resto sei: {6, -1, 13, -8...}

Anello

Un anello è una struttura con un insieme, due operazioni e un elemento neutro per la prima operazione, per cui vale la proprietà distributiva tra la prima e la seconda operazione.

(ℤ, +, *, 0) è un esempio: a*(b+c) = a*b + a*c

Se anche la seconda operazione ha un elemento neutro, allora si chiama Anello con identità (è necessario che l'elemento neutro della prima e della seconda operazione siano diversi).

Se la seconda operazione è commutativa, allora si dice Anello commutativo.

Campo

Un campo è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile.

E poi, si parla di spazi vettoriali...