Schema sintetico per la risoluzione delle equazioni differenziali

NOTA: in questo articolo NON si parla di teoria delle eq. diff., per quella c'è YouMath, ma solo di come risolvere il 99% delle ED. Ovviamente servono studio, pratica e solide conoscenze teoriche, ma dopo aver studiato, questo prospetto va imparato a memoria per essere più veloci (il compito di analisi dura tre ore, non tre giorni!)

Prospetto

  • Variabili separabili → integrazione per y a destra e per x a sinistra
  • Primo ordine →
    eFx·e-Fx·gxdx
  • Secondo ordine
    • Omogenea
      1. Δ > 0 → C1eλ1x+C2eλ2x
      2. Δ = 0 → C1eλ1x+xC2eλ2x
      3. Δ < 0 → eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))
    • Non omogenea (come la omogenea più:)
      1. Senza funzioni trigonometriche, con α soluzione → xmp(x)eαx
      2. Senza fx. trig., senza α soluzione → p(x)eαx
      3. Con fx. trig., con α soluzione → xeαx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx))
      4. Con fx. trig., senza α soluzione → eαx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx))

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Divisione di polinomi con Ruffini

Immaginiamo di voler dividere due polinomi, per esempio questi:

4x4+4x3-5x2-x+32x+3

Affianchiamoli in una tabella, ordinati per grado:

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3

I due gradi più alti dei due polinomi sono il 4x4 e il 2x. Per cosa devo moltiplicare 2x perché diventi 4x4? Per 2x3: lo scrivo sotto:

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
2x3

Poi moltiplico tutto il polinomio al dividendo per 2x3 e lo scrivo A SEGNI INVERTITI sotto al polinomio al divisore.

2x3 * (2x + 3) = 4x4 + 6x3

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3

+4x4 -4x4 si annullano; +x3 -5x3 fa -4x3.
Gli altri termini non sono modificati, quindi li riporto pari pari:

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3

-2x3 diviso 2x fa -x2

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2

-x2 * (2x+3) = -2x3-3x2
Lo riporto a segni invertiti:

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2
+2x3 +3x2

+2x3 -2x3 si annullano; -5x2 +3x2 = -2x2
Gli altri termini non sono modificati:

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2
+2x3 +3x2
-2x2 -x +3

-2x2 diviso 2x fa -x

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2
+2x3 +3x2
-2x2 -x +3 -x

2x * -x = -2x2 mentre 3 * -x = -3x. Li riporto a segni invertiti.

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2
+2x3 +3x2
-2x2 -x +3 -x
+2x2 +3x

-2x2 e +2x2 si annullano, mentre -4x -3x = -7x

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2
+2x3 +3x2
-2x2 -x +3 x
+2x2 +3x
2x 3 -x

2x+3 e 2x+3 divisi tra loro danno 1:

4 3 2 1 0 (costante) 1 0 (costante)
+4x4 +4x3 -5x2 -x +3 +2x +3
-4x4 -6x3 +2x3
-2x3 -5x2 -x +3 -x2
+2x3 +3x2
-2x2 -x +3 -x
+2x2 +3x
2x 3 1
-2x -3

Il risultato è

4x4+4x3-5x2-x+3=2x+3*2x3-x2-x+1

Integrali: Cassetta degli attrezzi / 1

Svolgendo gli utilissimi esercizi con soluzioni del Politecnico di Torino, ho fatto una breve classificazione di cosa bisogna sapere per risolvere gli integrali (non tutti ma molti).

Nota: a fianco di ogni "attrezzo della cassetta" ho messo un soggettivo criterio di "pippaggine mentale", per cui un asterisco = ragionevole; 2 asterischi = difficile; 3 asterischi = fantasia malata

Potenze *

La prima cosa, importantissima, è riuscire a trasformare un'espressione in una potenza. Per fare questo bisogna:

  1. Moltiplicare la primitiva per
    11+n
  2. Elevare alla n+1

Per esempio, l'integrale di una potenza "secca":

x5dx=16x6+C

o, scritto in un'altra maniera:

x66+C

Se invece si è di fronte alla potenza di un'espressione diversa dalla semplice x, bisogna che sia presente la derivata dell'espressione (nell'esempio, la primitiva in blu, la derivata in verde):

2x·x2-15dx=16x2-16+C

Proprietà delle potenze

Due cose importanti da ricordare:

1x=x-1

e l'altra:

xn=x1n

È molto più comodo, quando si calcolano gli integrali, "tradurre" sempre 1/f(x) in f(x)-1 e √x in x1/2. Facciamo qualche esempio:

1x-33=x-3-3

Altro esempio:

x-535=x-553

Nell'ultimo esempio avevamo sia una radice sia una potenza: si può esprimere come potenza razionale, nella forma n/m.
Nulla vieta che una potenza (o radice) sia anche irrazionale (ma la dimostrazione che le regole per esponenti ∈ℚ siano le stesse di ℝ non è banale):

x-5πe=x-5πe

Moltiplicare per uno / prima parte **

Ebbene sì: uno dei "trucchi" più importanti per risolvere gli integrali è... moltiplicare per uno!

Il fatto è che anche 7/7 è uno.

E anche 1/7 x 7 è uno.

E una costante si può "estrarre" dall'integrale senza problemi.

5x·x2-15dx

In questo esempio a noi farebbe molto più comodo avere un 2 al posto del 5, quindi... moltiplichiamo per 2/5 e 5/2, ed estraiamo 5/2:

25·525x·x2-15dx=52255x·x2-15dx=52·16x2-16+C=512x2-16+C

Logaritmo *

Quando si integra un'espressione che ha al numeratore la derivata del denominatore, l'integrazione consiste nel logaritmo del denominatore.

Siccome l'argomento del logaritmo deve sempre essere positivo, il denominatore si mette in valore assoluto, se non è per sua natura > 0.

2xx2+4dx=log|x2+4|

Arcoseno e arcotangente **

Ricordare sempre i due integrali notevoli:

11-x2=arcsenx

e

11+x2=arctanx

da qui possiamo ricavare, scrivendo al denominatore la derivata di f(x) e al posto di x^2 → f(x)^2, le primitive di arcoseno e arcotangente di funzioni.

fx'1-fx2=arcsenfx

e

fx'1+fx2=arctanfx

Su questo c'è un esempio nell'articolo dedicato.

Funzioni composte *

Riconoscendo lo schema della funzione composta, si può applicare la "regoletta":

f(g(x))' = f'(g(x)) g'(x)

Per esempio:

7xcos3x2-5dx

La chiave dell'esercizio è intuire che la derivata di 3x^2 è 6x, ma abbiamo a disposizione 7x. Moltiplicando per 7/6 e per 6/7 possiamo "cambiare" 7x in 6x:

766xcos3x2-5dx

dove 6x è g(x)', cos(y) è f(y)' e 3x2-5 è g(x).

A questo punto basta ricordare la primitiva di cos(x) (che è sen(x)) e comporla con 3x2-5 e abbiamo la soluzione:

763x2-5+C

Integrazione per parti **

Come conseguenza della derivazione di un prodotto, si ottiene l'integrazione per parti:

fx·gx'=fx'·gx+fx·gx'

da cui

fx'·gx=fx·gx'-fx·gx'

integrando tutte le parti:

fx'·gx=fx·gx'-fx·gx'

posso semplificare l'integrale della derivata (in rosso) e riscrivere così:

fx'·gx=fx·gx-fx·gx'

che è esattamente la formula dell'integrazione per parti.

La formula è semplice. L'unica accortezza è scegliere correttamente quale parte integrare e quale derivare!

Esempio

xsenxdx

Primitiva Derivata
f x 1
g -cos(x) sen(x)

sen(x), in grassetto nel prospetto, "sparisce", ma soprattutto la x è "estratta" dall'integrale.

"Fuori" dall'integrale si ritrovano x e -cos(x), mentre "dentro" l'integrale si ritrovano 1 (che "sparisce") e -cos(x):

-xcosx--cosxdx

Il - "esterno" e il - "interno" si possono semplificare in un +.
L'integrale di cos(x) è banalmente sen(x), quindi la soluzione è

senx-xcosx+C

Altro esempio. Quando è presente ex o qualcosa di simile, l'integrazione per parti è molto semplice, perché è possibile derivare o integrare ex all'infinito senza difficoltà.

2x·e-xdx

2 si porta fuori:

2x·e-xdx

poi si procede per parti:

Primitiva Derivata
f x 1
g -e-x e-x

-2xe-x--e-xdx=-2xe-x+e-xdx=-2xe-x-e-x+C

Raccogliendo -2e-x:

-2e-xx+1+C

Moltiplicare per uno / seconda parte ***

Un "trucchetto" per integrare per parti è di aggiungere alla funzione da integrare una... moltiplicazione per uno!

Bisogna ricordare che nel caso estremo in cui sia presente solo uno, l'integrale è x. Per convincersene basta vedere l'integrale (se positivo) come rappresentazione di una superficie.

Integrale di dx da 0 a 2 vale 2

1dx=dx=x+C

Un integrale di questo genere è estremamente difficile da risolvere direttamente:

logx+1dx

ma se lo immaginiamo come 1 per log(x+1) si può risolvere per parti:

1·logx+1dx

Primitiva Derivata
f log(x+1) 1/(x+1)
g x 1

Riporto "fuori" le due primitive e dentro la primitiva di 1 e la derivata di log(x+1):

xlogx+1-x·1x+1dx

A questo punto aggiungiamo e togliamo 1/(x+1) ****

xlogx+1-x+1-1x+1dx

e poi separiamo x+1 da -1, facendone due integrali diversi:

xlogx+1-x+1x+1dx--1x+1dx

Il primo pezzo è l'integrale di dx, che vale 1; il secondo pezzo è 1/log(x+1), che vale log|x+1|

Il risultato finale è quindi:

xlogx+1-x-log|x+1|+C

Integrali: Esercizi svolti con spiegazione / 3

tanxdx

Come noto, la tangente è il rapporto tra seno e coseno:

sinxcosxdx

Moltiplichiamo per -1 e -1, infatti -(-f(x)) = f(x), ma un "meno" lo portiamo fuori, l'altro "meno" si applica a sen(x), che diventa così la derivata di cos(x).
1/cos(x) equivale a cos(x)-1.

Alla luce di questo possiamo trasformare l'integrale così, come reciproco di una funzione e derivata

--sinx·1cosxdx=log|cosx|+C

1sin2xdx

Ricordiamo che sin(2x) = 2·sinx·cosx

12sinxcosxdx

Aggiungiamo cos(x) / cos(x) ed "estraiamo" il 1/2:

12cosxsinxcos2xdx

Possiamo scomporre la frazione nelle sue parti:

12cosxsinx1cos2xdx

Otteniamo la cotangente di x (cioè 1/tan(x)) e dall'altra parte la secante2 di x (cioè 1/cos^2(x))

12cosxsinx1cos2xdx=121tanx1cos2xdx

1/cos2(x) è la derivata di tan(x), così il risultato dell'integrale è:

log|tanx|+C

 

 

Ricordiamo la regola per la derivazione delle funzioni composte:

fgx

è la notazione equivalente a

fgx

la cui derivata si ricava con questa regola:

fgx'=f'gx·g'x

Integrali: Esercizi svolti con spiegazione / 2

Il "trucco" di questi integrali è ricordare la derivata delle funzioni trigonometriche inverse (arcoseno e arcotangente):

arcsinfx=f'x1-fx2

Mentre

arctanfx=f'x1+fx2

3ex1+e2xdx

Se "esportiamo" il 3, possiamo identificare l'integrale dell'arcotangente e la funzione ex. Infatti e2x = (ex)2.
La soluzione è

3arctgex+C

1x1-log2xdx

Separiamo la derivata di log(x):

1x·11-log2xdx

La soluzione è

arcsinlogx+C