Integrali: Esercizi svolti con spiegazione / 3

tanxdx

Come noto, la tangente è il rapporto tra seno e coseno:

sinxcosxdx

Moltiplichiamo per -1 e -1, infatti -(-f(x)) = f(x), ma un "meno" lo portiamo fuori, l'altro "meno" si applica a sen(x), che diventa così la derivata di cos(x).
1/cos(x) equivale a cos(x)-1.

Alla luce di questo possiamo trasformare l'integrale così, come reciproco di una funzione e derivata

--sinx·1cosxdx=log|cosx|+C

1sin2xdx

Ricordiamo che sin(2x) = 2·sinx·cosx

12sinxcosxdx

Aggiungiamo cos(x) / cos(x) ed "estraiamo" il 1/2:

12cosxsinxcos2xdx

Possiamo scomporre la frazione nelle sue parti:

12cosxsinx1cos2xdx

Otteniamo la cotangente di x (cioè 1/tan(x)) e dall'altra parte la secante2 di x (cioè 1/cos^2(x))

12cosxsinx1cos2xdx=121tanx1cos2xdx

1/cos2(x) è la derivata di tan(x), così il risultato dell'integrale è:

log|tanx|+C

 

 

Ricordiamo la regola per la derivazione delle funzioni composte:

fgx

è la notazione equivalente a

fgx

la cui derivata si ricava con questa regola:

fgx'=f'gx·g'x

2. Riepilogo generale / 2

Equazioni e disequazioni con modulo

Le soluzioni di un'equazione con modulo sono, per
f:A→ℝ
|f(x)|=k

k < 0 ↠ impossibile
k = 0 ↠ f(x) = 0
k > 0 ↠ |f(x)|-k = 0

Esempio

f:A→ℝ
f(x)=|x^2-5| = 1
abs(x^2-5)
Il segno (positivo dentro il valore assoluto) indica che la parabola è rivolta verso l'alto; il Δ = +20 indica che esistono due soluzioni; però il valore assoluto fa raddoppiare ulteriormente le soluzioni, che diventano quattro perché il termine dopo l'uguale è ≠ 0.

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1. Riepilogo generale / 1

Dominio e codominio

Come regola, se non è esplicitamente richiesto che il dominio e il codominio di una funzione siano insiemi ℕ, ℤ o ℚ, il dominio su cui ci esercitiamo è quello dei numeri reali ℝ.

Le eccezioni più frequenti si riscontrano per prendere in considerazione tre casi particolari:

1) il dominio esclude lo zero, solitamente quando x sta al denominatore di una frazione.
f:ℝ→ℝ
f:x→1/x
non è valida, poiché con queste premesse x può essere = 0.

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