Appunti delle lezioni Categoria

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{x}{\sqrt{x}-1}$

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La lezione 11 ha riguardato:

• Applicazione della funzione inversa per il calolo di asin'(x)
• Applicazione della funzione inversa per il calolo di atg'(x)
• Derivate su logaritmi
• Derivata di un valore assoluto
• Derivata di una funzione elevata a una funzione
• Proprietà locali in un intorno di x₀

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La lezione 10 ha riguardato:

• Derivabilità e continuità
• Calcolo della derivata di una funzione composta
• Calcolo della derivata di una funzione trigonometrica
• Calcolo della derivata di una funzione logaritmica

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La lezione 9 ha riguardato:

• Calcolo della derivata di una funzione in un punto
• Calcolo della funzione derivata di una funzione

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La lezione 8 ha riguardato:

• Esempi di limiti
• Teoremi sulle successioni monotòne

Esempi di limiti

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{f(x)}=\frac{1}{x}\text{se x∈[-1,1]{0}}\\ \mathrm{f(x)}=0\text{se x=0}\end{array}\right.$

• f non è continua in zero
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }=\mathrm{+\infty }$
• $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }=\mathrm{-\infty }$
• 0 è asintoto verticale
• f(x) non ha né minimo né massimo e non è limitato perché non è continuo in zero (ha asintoto ma non limite)
• i teoremi dei valori intermedi e di Weierstraß necessitano di una funzione continua, quindi non sono applicabili

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La lezione 7 ha riguardato:

1. Esempi di limiti
2. Asintoti
3. Teoremi sulle funzioni continue

Esempi di limiti

Dimostrazione che (1+t)ⁿ≥1+nt (disuguaglianza di Bernoulli)

Con t∈ℝ e t>-1, ∀ n∈ℕ

${\left(1+t\right)}^n\ge 1+nt$

Dim. per induzione (1) base: per n=1, (1+t)¹ = 1+t ≥ 1+(1·t) = 1+t (2) passo induttivo: Supponiamo per n>1

${\left(1+t\right)}^n\ge 1+nt$

Sviluppiamo calcolando il passo n+1, moltiplicando entrambi i membri per 1+t

${\left(1+t\right)}^{\mathrm{n+1}}\ge \left(1+nt\right)·\left(1+t\right)$ ${\left(1+t\right)}^{\mathrm{n+1}}\ge 1+t+nt+n{t}^2$

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La lezione 6 ha riguardato:

1. Ripasso della lezione precedente
2. Esempio di limiti
3. Definizione di continuità
4. Funzioni lipschitziane

Ripasso della lezione precedente

Vedere Lezione 5

Esempio di limiti

Data la funzione

$f:{ℝ}^{*}\to ℝ$ $f\left(x\right)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

trovare il limite per x che tende a zero.

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La lezione 5 ha riguardato:

1. Definizione di limite
2. Definizione di punto di accumulazione
3. Proprietà dei limiti

Definizione di limite

Come già visto nella lezione precedente, è possibile esprimere a^x con a, x∈ℝ come il limite per r_k→x con k∈ℚ.

In pratica, "avviciniamo" arbitrariamente il valore di r_k a x per approssimare a sufficienza il numero reale x.

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La lezione 4 ha riguardato:

1. Funzioni inverse
2. Funzioni polinomiali (cenni)
3. Funzioni razionali (cenni)
4. Potenze (cenni)
5. Cenni di limiti (cenni)
6. Logaritmi (cenni)
7. Funzioni trigonometriche (cenni)

Funzioni inverse

Data una funzione f:A→B posso costruire una f ^-1:f(A)→A dove f(A)⊆B tale che f^-1∘f(a) = a ∀ a∈A e f∘f^-1(b) = b ∀ b∈f(A).

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La lezione 3 ha riguardato:

1. Successioni
2. Principio di induzione
3. Operazioni con le funzioni

Successioni

Una qualunque f:ℕ→ℝ può essere scritta anche come
a₁, a₂, a₃, ... a_n, con n∈ℕ

Principio di induzione

In una successione è possibile dimostrare un enunciato tramite il principio di induzione.

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