Calcolo dei limiti - esercizio medio

limx-∞x+x2+2

intuitivamente, se il limite di x tende a -∞ e il limite di √x2 tende a +∞, i due termini tendono ad annullarsi e il limite è zero, ma sotto radice c'è quel +2 che rovina i piani. Siccome 2 è una costante, dovrebbe contare sempre meno nel limite, ma allora il limite qual è? E possiamo dimostrarlo?

Dobbiamo riuscire a separare x2 da +2, ma come? La risposta è che raccogliamo x2!

Ovviamente l'obiezione che verrebbe da fare è che uno dei due termini ha x2, ma l'altro no, e allora cosa raccogliamo? Qui serve una piccola magia.

Normalmente siamo abituati a semplificare il più possibile un'espressione, ma qui dobbiamo riflettere sul fatto che

2=2x2x2

Se riscriviamo il limite come

limx-∞x+x2+2x2x2

ecco che possiamo raccogliere il x2 come volevamo:

limx-∞x+x2(1+2x2)

applichiamo la regola che ci permette di "separare" due termini di un prodotto sotto radice:

limx-∞x+x21+2x2

Al (de)crescere di x, la seconda radice tende a 1, che moltiplica un x sempre positivo (infatti √x2 è uguale a |x|, cioè al valore assoluto di x).

In pratica, ci siamo sbarazzati, nel limite, del "+2" e abbiamo dimostrato che il limite è quindi zero. ∎

Calcolo dei limiti - esercizio semplice

limx-5x2+3x-10x2-25

-5 (in valore del limite) non fa parte del dominio della funzione, perché il denominatore sarebbe zero. Inoltre a -5 anche il numeratore è 0, quindi la funzione assume la forma indeterminata 0/0.

Il primo passaggio consiste nel trovare gli zeri del numeratore, cioè i valori di x per cui x2+3x-10 vale zero.
Usando la formula apposita

x=-b±b2-4ac2a

Troviamo

x=-3±32-4*1*-102*1=-3±492=-5,+2

Quindi la scomposizione di x2+3x-10 è (x+5)*(x-2)

La scomposizione di x2-25 è più semplice: senza fare troppi conti è (x+5)*(x-5).

A questo punto si ottiene

limx-5(x+5)(x-2)(x+5)(x-5)

Possiamo semplificare x+5 al numeratore e al denominatore e otteniamo (x-2) / (x-5). Sostituendo -5 al posto di x otteniamo 7/10, che è esattamente il valore del limite a -5 della funzione. ∎

La truffa di Zenone

Zenone fu un grande filosofo, che pose delle domande tutt'altro che banali. Una di queste, di cui trovò diverse varianti, dice che per arrivare da un punto a un altro punto è necessario prima passare per un terzo punto che sta a metà, e prima di arrivare a metà bisogna arrivare alla metà della metà, e così via.

Avvio                           Traguardo
  +--------------------------------+

Avvio            Metà           Traguardo
  +---------------|-----------------+
  |                 \
  |                   \
  |                     \
  |                       \
  |                         \
  |                           \
  |                             \
  |                               \
  |                                 \
Avvio       Metà di metà           Metà
  +---------------|-----------------+

Di questo passo, dice lui, per arrivare al traguardo serve fare un'infinità di passi infinitamente piccoli, e quindi non è possibile arrivare mai al traguardo.

L'esperienza quotidiana ci dice invece che è possibile. Dove sta l'inghippo?

Aristotele ha provato a dare una spiegazione che oggi definiremmo "fisica", cioè che non esistono infinità di metà, ma a un certo punto si arriva a un'unità di spazio e a un'unità di tempo indivisibili, o come si dice oggi, discrete. La linea tratteggiata diventa una linea continua, e non è più possibile pensare a metà, né dal punto di vista spaziale (metà percorso...) né da quello temporale (...in metà del tempo).

Al giorno d'oggi sappiamo che esistono delle grandezze fisiche al di sotto delle quali non ha senso parlare come se si trattasse di misure macroscopiche, perché gli effetti della meccanica quantistica le rendono qualcosa di diverso da quello che conosciamo comunenente, ma la truffa che ci propina Zenone non ha cause fisiche, ma matematiche.

In fondo anche usando la sola matematica arriveremmo a un paradosso: 1 è come dire 2/2, che è come dire 4/4, e così via, fino ad arrivare a ∞/∞. 2 è come dire 4/2, che è come dire 8/4, e così via, e anche in questo caso abbiamo un numeratore che arriva a infinito e un denominatore pure. Qualcuno potrebbe obiettare che il risultato sarebbe 2∞/∞, e non ∞/∞, ma questo non è vero, perché 2∞ = ∞, come ci racconta David Hilbert, e come abbiamo già detto qui.

In altre parole, mentre proseguendo da un numero verso infinito sembra andare tutto liscio, quando cerchiamo di tornare indietro scopriamo che ∞/∞ può significare qualunque cosa.

Rivedendo ora il paradosso, si può intuire qual è il punto in cui Zenone ci sta truffando:

per arrivare da un punto a un altro punto è necessario prima passare per un terzo punto che sta a metà, e prima di arrivare a metà bisogna arrivare alla metà della metà, e così via.

Non esiste "e così via", perché finché parliamo di una frazione composta da numeri, per quanto grandi siano, parliamo di qualcosa che funziona sia come insieme (es. tre pecore) sia come singolo elemento (es. la terza pecora), l'infinito è solo un insieme (es. un'infinità di pecore) ma non un elemento (es. la pecora numero infinito).

In quel "e così via", apparentemente innocuo, si cela il trucco di Zenone, di cambiarci sotto il naso un numero con un insieme.

Caro Zenone, riformula il tuo paradosso senza usare 'e così via', o altre abbreviazioni. Dici che non puoi, perché la definizione del tuo paradosso sarebbe infinita? Ecco smascherato il tuo paradosso!