DERIVISSIME

Esponenti e radici

La derivata di x² è 2x, questo si sa. La derivata di xⁿ con n∈ℕ è nx^n-1, quindi per esempio x⁵² ha per derivata 52x⁵¹. Il discorso non cambia per x^q con q∈ℚ (in realtà neanche con x^r, r∈ℝ), quindi la derivata di una radice quadrata è come la derivata di una potenza ½: √x = x^½, quindi (√x)' = ½x^½-1 = ½x^-½ = ½√(1/x), ma siccome √1 = 1:

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

La derivata di ⁵√x³ è come la derivata di x^⅗, cioè ⅗x^⅗-1 = ⅗x^-⅖ = ⅗⁵√x^-2 =

$\frac{3}{5}{x}^{\frac{3}{5}-1}=\frac{3}{5}{x}^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5}\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}=\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$

1. Si riporta la frazione
2. Si abbassa di un grado l'esponente (x^3 diventa x^2)
3. Se abbassando l'esponente di uno si ottiene un numero negativo (⇒ l'esponente è minore della radice), si fa il reciproco di x (x => 1/x)

e la derivata di un esponente razionale è servita. In realtà siccome esponenti e radici non sono che due facce della stessa medaglia, entrambe si possono ricondurre a questa soluzione.

Esponente di un polinomio

Calcolando derivate è facile imbattersi in formule come (2x^2-5)^2 Apparentemente basterebbe fare 2(2x^2-5). QUESTO È SBAGLIATO! Può consolare sapere che ci abbiamo provato tutti, agli inizi, ma resta sbagliato. Per derivare un polinomio bisogna moltiplicare esponente, polinomio e DERIVATA del polinomio. In pratica, ((2x^2-5)2)' = 2·(4x)·(2x^2-5) e poi risolvere (il risultato è 8x(2x^2-5)) E la derivata di... ³√(2x^2-5)²? Applichiamo quanto scritto sopra: Si riporta la frazione: ⅔ Invece di abbassare di un grado l'esponente si riportano polinomio e derivata: ⅔(4x)·³√(2x^2-5) Si fa il reciproco solo del polinomio: ⅔(4x)·1/³√(2x^2-5) Il risultato è

$\frac{2·4x}{3\sqrt[3]{2x^2-5}}=\frac{8x}{3\sqrt[3]{2x^2-5}}$

Direi che a questo punto arrivare a mente dal polinomio alla derivata può non essere più così banale, e siccome il mio intento è di riportare solo derivate da sapere "al volo", mi fermo qui.

Frazioni

La formula per derivare una funzione

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(y\right)}$

è

$\frac{\mathrm{f\text{'}}\left(x\right)g\left(y\right)-f\left(x\right)\mathrm{g\text{'}}\left(y\right)}{{\left(g\left(y\right)\right)}^2}$

La formula per derivare una divisione è composta da tre parti: due al numeratore, in cui la prima è la derivata del numeratore per il denominatore, la seconda è MENO derivata del denominatore per il numeratore e la terza è il denominatore al quadrato. Spesso non conviene sviluppare direttamente tutto, in particolare la prima e la terza parte contengono entrambe il denominatore, quindi se si riuscisse a "estrarre" per una botta di fortuna sfacciata o una grazia del professore il denominatore anche dalla seconda (non è automatico che ci sia, al contrario della prima e della terza), si potrebbe semplificare la derivata e abbassarne di un grado il denominatore. Esempio:

$\frac{x^2}{{\left(x-1\right)}^2}$

Le derivate del numeratore e del denominatore sono rispettivamente 2x e 2(x-1), quindi (x-1) è presente in tutti e tre i membri:

$\frac{2x{\left(x-1\right)}^2-x^{2}2\left(x-1\right)}{{\left(x-1\right)}^4}=\frac{2x\left(x-1\right)-2x^2}{{\left(x-1\right)}^3}=-\frac{2x}{{\left(x-1\right)}^3}$

Trigonometria

Le derivate delle funzioni trigonometriche non sono semplici da calcolare, ma le derivate notevoli sono abbastanza semplici da imparare a memoria. La derivata della funzione seno è la funzione coseno. La derivata della funzione coseno è MENO la funzione seno. La derivata della tangente è facilmente ricavabile considerando

$tg\left(x\right)=\frac{sin\left(x\right)}{cos\left(x\right)}$

e applicando quanto visto nel paragrafo precedente.

$\left(\frac{sin\left(x\right)}{cos\left(x\right)}\right)\text{'}=\frac{cos\left(x\right)cos\left(x\right)-sin\left(x\right)\left(-sin\left(x\right)\right)}{{cos}^2\left(x\right)}=\frac{{sin}^2\left(x\right)+{cos}^2\left(x\right)}{{cos}^2\left(x\right)}=\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}$

La cotangente si ottiene come la tangente, facendo caso al fatto che cambia di segno:

$-\frac{1}{{sin}^2\left(x\right)}$

Le derivate di arcoseno e arcocoseno sono rispettivamente

$\pm \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Sai questo, il resto lo ricavi (o quasi).

e & ln

e^x è la derivata più semplice possibile, perché è... e^x! Anche cercando di complicare la vita, la derivata di e^nx è semplicemente ne^nx. e sembra un numero inventato per dare un po' di respiro a chi studia le derivate, gli si può quasi perdonare anche il fatto di essere irrazionale. ln(x) ha come derivata 1/x, anche questo è molto semplice. moltiplicare x non cambia niente, la derivata (per es.) di ln(52x) = 1/x, sempre. Invece se elevo x a una potenza n, quella potenza diventa il numeratore della derivata: (ln(x^2))' = 2/x. Ovviamente se aggiungo anche radici, finiscono al denominatore: (ln(√x³))' = 3/2x Finito. Facile. Quando invece si incasinano le cose? Quando si tenta di elevare a una potenza il logaritmo: in questo caso il logaritmo di x^n è pari a

$ln{\left(x\right)}^n=\frac{nln{x}^{n-1}}{x}$

Comporre le derivate

Per il momento riporto solo la formula:

$\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)\text{'}=\mathrm{g\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)\mathrm{f\text{'}}\left(x\right)$

Esempio di derivata di una funzione composta

ln(x^2)

la funzione "esterna" è evidentemente ln(y) e la funzione interna è x^2.

	g	f
funz.	ln(y)	x^2
der.	1/y	2x

g(x) non ci interessa più.

g'(x^2)*2x = 1/x^2 * 2x = 2x/x^2 = 2/x

Tabella di derivate notevoli

Note:

• x è una variabile ∈ℝ
• c è una costante ∈ℝ
• n e m sono numeri arbitrario ∈ℝ (n=esponente, m=radice)
• sin e sen sono notazioni alternative per indicare il seno
• tg e tag per la tangente
• asin e arcsin, atan e arctan per arcoseno e arcotangente
• ln e log per logaritmo con base e

f(x)	f'(x)	Esempio
c	0	(4)' = 0
x	1	(6x)' = 6
xn	nxn-1	(x4)' = 4x3
m√xn	$\frac{n}{m}{x}^{\frac{n}{m}-1}$	$\left(\sqrt[7]{x^4}\right)\text{'}=\left(x^{\frac{4}{7}}\right)\text{'}=\frac{4}{7}{x}^{\frac{4}{7}-1}=\frac{4}{7}{x}^{-\frac{3}{7}}=\frac{4}{7}\frac{1}{x^{\frac{3}{7}}}=\frac{4}{7}\frac{1}{\sqrt[7]{x^3}}=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}}$  NOTA: Wolfram|Alpha può restituire risultati in forme diverse per questo genere di derivata, a seconda che l'esponente sia pari o dispari o che la radice abbia un grado maggiore o minore dell'esponente
sin(x)	cos(x)	(sin(π/4))' = cos(π/4)
cos(x)	-sin(x)	(cos(π/3))' = -sin(π/3)
sin2(x)	2sin(x)cos(x) = sin(2x)	(sin2(π/8))' = sin(2π/8) = sin(π/4)
tg(x)	1/cos2(x) = csc(x)	(tg(π/3))' = 1/cos2(π/3) = 3/4
arcsin(x)	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	NOTA: Il fatto che 1-x2 debba sempre essere strettamente positivo, perché è sotto radice (positivo) e al denominatore (diverso da zero) implica che il dominio della funzione sia (-1,1), come ci aspetteremmo.
arctg(x)	$\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\frac{n}{x}$	$-\frac{\mathrm{n}}{x^2}$
ex	ex
$e^{x^n}$	$n{x}^{n-1}{e}^{x^n}$	$\left(e^{x^7}\right)\text{'}=7x^6{e}^{x^7}$
enx	nenx
ln(x)	$\frac{1}{x}$