Studio di una funzione: (1-3x)/(x-1)

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

1-3xx-1

Dominio

Il dominio è ℝ tranne i valori di x per cui il denominatore è zero.

In questo caso x-1=0 ⇒ x=1.
Il dominio è quindi ℝ\{1}

Zeri

La funzione vale zero quando il numeratore vale zero e x è nel dominio.

In questo caso 1-3x=0 ⇒ x=1/3.
P1 = (1/3, 0)

Quando x = 0, il punto (0, -1) interseca l'asse delle ordinate.
P2 = (0, -1)

Simmetrie

1-3-x-x-1=1+3x-x-1

che è diverso sia da f(x) sia da -f(x).
Quindi la funzione non è né pari né dispari.

Segno

Il segno è positivo quando c'è concordanza di segni tra il numeratore e il denominatore.

                        1/3     1
Num: 1-3x>0 ⇒ x<1/3  +      -      -
-------------------------+------+------
Den: x-1>0 ⇒ x>1     -      -      +
-------------------------+------o------
f(x)                 -   |   +  φ   -

Limiti

Si dimostra che

limx1-1-3xx-1=+

Significa che per ogni m∈ℝ, per quanto grande sia,

1-3xx-1-1>m

sviluppando,

1-3x-x+1x-1>m

sommo:

2-4xx-1>m

sottraggo m da entrambi i membri:

2-4xx-1-m>0

sviluppo:

2-4x-mx+mx-1>0

raccolgo -x:

2-x4+m+m>0

poi:

-x4+m>-2-m

cambio segno e inverto il senso:

x4+m<2+m

divido entrambi per 4+m:

x<2+m4+m

Con m=0 x<1/2, con m che cresce all'infinito, la parte destra si avvicina sempre di più a 1/1.


Si dimostra che

limx1+1-3xx-1=-

per vie brevi:

limx1+1-3xx-1=limx1+x1x-3x1-1xlimx1+=-30

Si dimostra che

limx±1-3xx-1=-3

per vie brevi:

limx±1-3xx-1=limx±x1x-3x1-1xlimx±=-31

1/x tende a zero al crescere di x, quindi il limite è -3, sia per +∞ sia per -∞

Asintoti

Sono presenti un asintoto verticale in corrispondenza di x=1 e un asintoto orizzontale per y=-3.

Minimi e massimi

La derivata di una funzione razionale è data dalla formula:

fxgx'=f'xgx-fxg'xgx2

Nel nostro caso:

f(x) g(x)
funz. 1-3x x-1
der. -3 1

Dato che interessa lo studio del segno, conviene non sviluppare il denominatore (g(x)2)

-3x+3-1+3xx+12

Sia il numeratore sia il denominatore sono sempre positivi, quindi la funzione è sempre crescente.

Punti di flesso

La derivata seconda della funzione è

f(x) g(x)
funz. 2 (x+1)^2
der. 0 2x+2

Anche senza sviluppare, essendo tutti valori non negativi la funzione non ha punti di flesso ed è sempre convessa.