10. Derivate tipiche

La lezione 10 ha riguardato:

• Derivabilità e continuità
• Calcolo della derivata di una funzione composta
• Calcolo della derivata di una funzione trigonometrica
• Calcolo della derivata di una funzione logaritmica

Derivabilità e continuità

Se f è derivabile in un punto, è anche continua nello stesso punto.
Dim.

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }f\left(x+h\right)=\underset{h\to 0}{\lim }f\left(x+h\right)\stackrel{\text{Aggiungo e tolgo f(x)}}{+f\left(x\right)-f\left(x\right)}==\stackrel{\text{Porto fuori f(x) perché non dipende da h}}{f\left(x\right)}+\underset{h\to 0}{\lim }\stackrel{\text{Aggiungo h/h}}{\frac{h\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)}{h}}=$ $f\left(x\right)+\underset{h\to 0}{\lim }h·\stackrel{\text{Rappresenta la derivata di f(x)}}{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}=f\left(x\right)+0·f\left(x\right)=f\left(x\right)$

ATTENZIONE! Non è vero il contrario: una funzione continua potrebbe non essere sempre derivabile. Un esempio tipico è f(x) = |x|, che non è derivabile nel punto (0,0)

Calcolo della derivata di una funzione composta

Sia f:I⊆ℝ→ℝ derivabile in x₀
Sia g:I(f(x))→ℝ derivabile in f(x₀)
(g∘f)(x₀) è derivabile in x₀ e si ha (g∘f)(x₀) = g'(f(x₀))·f'(x₀)

Esempio
Sia h(x)=√(x²)+1)

Definiamo:
f(x)=x²+1
g(y)=√(y)
quindi (g∘f)(x) = √f(x) = √(x²+1)

f(x) = x2+1	f'(x) = 2x
g(y) = √y	g'(y) = 1/(2√y)

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\sout{2}·\sqrt{x^2+1}}·\sout{2}x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Derivate di funzioni trigonometriche

sin(x)

Per f(x) = sin(x) la derivata è cos(x)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{sin\left(x+h\right)-sin\left(x\right)}{h}$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{sin\left(x\right)·\cos \left(h\right)+cos\left(x\right)·sin\left(h\right)-sin\left(x\right)}{h}$

Per h→0 possiamo semplificare sin(x) e -sin(x).
Resta cos(x)sin(h)/h, con h→0 il risultato è cos(x), cvd.

cos(x)

La derivata di cos(x) è -sin(x).
La dimostrazione può essere diretta, come quella riportata sopra per sin(x), o indiretta, come combinazione di funzioni che partono dalla derivata notevole sin'(x) = cos(x).

tg(x)

La derivata di tg(x) è 1/cos(x)^2.

Derivate di funzioni logaritmiche

ln(x)

derivata facile facile: 1/x

e^x

Derivata ancora più facile: è la funzione stessa e^x.