La lezione 3 ha riguardato:
- Successioni
- Principio di induzione
- Operazioni con le funzioni
Indice dei contenuti
Successioni
Una qualunque f:ℕ→ℝ può essere scritta anche come
a1, a2, a3, ... an, con n∈ℕ
Principio di induzione
In una successione è possibile dimostrare un enunciato tramite il principio di induzione.
Il P.d.I. è composto da una base e da un passo induttivo. Tramite la base dimostro un enunciato P(x) per x=n0, dove n0 è il primo elemento del dominio della funzione a cui l'enunciato si riferisce.
Tramite il passo induttivo dimostro la verità di P(x+1) una volta dati per veri i passi precedenti da x=n0 a x=nk(anche se i passi precedenti fossero la sola base).
Esempio di principio di induzione: somma di tutti i numeri
Dimostriamo che P(n) è vera ∀ n∈ℕ
Base: si verifica che P(n) è vera per n = 1
Passo induttivo: si suppone che P(x) sia vero per un certo k ≥ n0. Se tale supposizione implica che P(x+1) è vero allora è verificato il passo induttivo.
Supponiamo che P(n) è vera, e quindi
Allora verifichiamo che
dato che la prima parte è certamente vera:
P(n): 1+2+3+4...+n+(n+1)
dobbiamo provare che:
=
Esempio di principio di induzione: elevamento alla q
Sia q∈ℝ, q≠1
Base:
n=0
Passo induttivo:
Supponiamo P(k) vero ∀ k≥n0.
1+q2 + q3 + ... + qn + qn+1
La parte in verde supponiamo sia vera, la successione per n+1 è:
Metto a fattor comune 1-q:
Moltiplico qn+1(1-q) e semplifico -1-qn+1 e +1-qn+1:
E ottengo il risultato atteso:
Operazioni con le funzioni
Date due funzioni:
f:A→ℝ
g:A→ℝ
diciamo che f > g se f(x) > g(x) ∀ x ∈ A
Somma di funzioni
Date due funzioni:
f:A→ℝ
g:A→ℝ
(f+g):A→R = (f+g)(x) = f(x)+g(x) ∀ x ∈ A
Divisione di funzioni
Date due funzioni:
f:A→ℝ
g:A→ℝ
(f/g):A→ℝ = f(x)/g(x) ∀ x ∈ A | g(x) ≠ 0
Composizione di funzioni
Date due funzioni:
f:A→B
g:C→D
A,B,C,D insiemi, C⊆B
g∘f:A→D
g∘f:g(f(x))
Esempio 1:
f:ℝ→ℝ
f(x) = x+3
g:ℝ*→ℝ
g(y) = 1/y
g∘f(x) = g(f(x)) = g(x+3) = 1/(x+3)
g∘f(x) non è definita per x = -3
f∘g(y) = f(g(y)) = f(1/y) = 1/y+3
f∘g(y) non è definita per y = 0
Esempio 2:
f:ℝ→ℝ-
f(x) = -x2-1
g:ℝ+→ℝ+
f(g) = √y
g∘f(x) non è possibile poiché il dominio di g∘f è ∅
Esempio 3:
f:ℝ→ℝ-
f(x) = -x2+1
g:ℝ+→ℝ+
f(g) = √y
Per g∘f(x) il dominio è x compreso tra -1 e 1 (inclusi).
La notazione è una tra le seguenti:
x ∈ [-1,1]
{x ∈ ℝ | x≤1, x≥-1}
{x ∈ ℝ | -1≤x≤1}