6. Limiti / 2

La lezione 6 ha riguardato:

1. Ripasso della lezione precedente
2. Esempio di limiti
3. Definizione di continuità
4. Funzioni lipschitziane

Ripasso della lezione precedente

Vedere Lezione 5

Esempio di limiti

Data la funzione

$f:{ℝ}^{*}\to ℝ$ $f\left(x\right)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

trovare il limite per x che tende a zero.

La funzione seno, qualunque sia x, restituisce un valore compreso tra -1 e 1, quindi la funzione x²sen(1/x) è compresa tra -x² e x²

$\underset{x\to x_0}{\lim }{-x}^2\le \underset{x\to x_0}{\lim }{x}^{2}sin\left(\frac{1}{x}\right)\le \underset{x\to x_0}{\lim }{x}^2$

Entrambi i limiti, per x^2 e per -x^2, tendono a zero, quindi anche il limite della funzione data tende a zero.

Definizione di continuità

Siano

$f:A\to ℝ$

A⊆ℝ
x₀ punto di accumulazione ∈ A

Si dice che f è continua in x₀ se

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Esempio: funzione non continua perché il punto di accumulazione non ∈ dominio

$y=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$

Proprietà delle funzioni continue

Date due funzioni continue, la continuità si mantiene operando (somma, sottrazione...) tra le due funzioni.

La continuità si mantiene anche componendo due funzioni

$f\circ g$

Esempio di funzioni non continue

Date due funzioni

$f:ℝ\to ℝ$ $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{}0\; se\; y\ne 0\\ 1\; se\; y=0\end{array}\right.$ $g:ℝ\to ℝ$ $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{}0\; se\; x>0\\ 1\; se\; x\le 0\end{array}\right.$

allora

$\left(f\circ g\right):ℝ\to ℝ$ $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g,\left(x\right)\right)=\left\{\begin{array}{}1\; se\; x>0\\ 0\; se\; x\le 0\end{array}\right.$

In questo caso il limite che tende a zero di f∘g non esiste; però esistono un limite destro (1) e un limite sinistro (0)

Funzioni lipschitziane

Si dice funzione lipschitziana una f:A→ℝ con A⊆ℝ se ∀ x, y ∈ A ∃ una costante L tale che |f(x)-f(y)| ≤ L |x-y|