## Prospetto di formule trigonometriche notevoli

Somma Sottrazione Duplicazione Bisezione
Sen sen(α+β) sen(α-β) sen(2α) sen(α/2)
senα·cosβ+senβ·cosα senα·cosβ-senβ·cosα 2senα·cosα $±\sqrt{\frac{1-\mathrm{cos\alpha }}{2}}$
Cos cos(α+β) cos(α-β) cos(2α) cos(α/2)
cosα·cosβ-senα·senβ cosα·cosβ+senα·senβ cos2α-sen2α $±\sqrt{\frac{1+\mathrm{cos\alpha }}{2}}$
Tg tg(α+β) tg(α-β) tg(2α) tg(α/2)
$\frac{\mathrm{tg\alpha }+\mathrm{tg\beta }}{1-\mathrm{tg\alpha }·\mathrm{tg\beta }}$ $\frac{\mathrm{tg\alpha }-\mathrm{tg\beta }}{1+\mathrm{tg\alpha }·\mathrm{tg\beta }}$ $\frac{\mathrm{tg\alpha }}{1-{\mathrm{tg\alpha }}^{2}}$ $±\sqrt{\frac{1-\mathrm{cos\alpha }}{1+\mathrm{cos\alpha }}}$
Prostaferesi
sen(α)+sen(β) $2\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha +\beta \right)}{2}·\frac{\mathrm{cos}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$
sen(α)-sen(β) $2\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha -\beta \right)}{2}·\frac{\mathrm{cos}\left(\alpha +\beta \right)}{2}$
cos(α)+cos(β) $2\frac{\mathrm{cos}\left(\alpha +\beta \right)}{2}·\frac{\mathrm{cos}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$
cos(α)-cos(β) $-2\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha +\beta \right)}{2}·\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$
Werner
sen(α)cos(β) $\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha +\beta \right)+\mathrm{sen}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$
sen(α)sen(β) $\frac{\mathrm{cos}\left(\alpha -\beta \right)-\mathrm{cos}\left(\alpha +\beta \right)}{2}$
cos(α)cos(β) $\frac{\mathrm{cos}\left(\alpha +\beta \right)+\mathrm{cos}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$
Parametriche
sen(α) $\frac{2\mathrm{tan}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$
cos(α) $\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

## Prospetto di ripasso

### Prospetto vuoto

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Derivate banali
f(x) f'(x)
c (costante)
x
f(x) f'(x)
x2
xn
√x
1/x
xn/m
ax (a≥0)
Logaritmi
f(x) f'(x)
ln(x)
loga(x)
Funzioni trigonometriche
f(x) f'(x)
sen(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
sec(x)
csc(x)
asin(x)
acos(x)
Operazioni su funzioni
somma: f(x)+g(x)
prodotto: f(x)·g(x)
esponente: (f(x))n
divisione: f(x)/g(x)
composta: f(g(x)) oppure f(x) ∘ g(x)
inversa: f-1(x)
funzione esponente: f(x)g(y)

## Ancora sulle equazioni razionali di 2+2 grado

Le equazioni nella forma

$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{{a}_{1}{x}^{2}+{b}_{1}x+{c}_{1}}$

producono una certa varietà di curve.

## Sulle disequazioni

Le disequazioni pongono un limite, un confronto tra due quantità, e la sfida è rendere costante una delle due quantità, cioè trasformare la disequazione in qualcosa di simile a x>n, con n noto (es. x>9/5).

In una disequazione le operazioni più comuni sono la somma (sottrazione) e il prodotto (divisione) per entrambi i membri, per esempio:

3x+5>0 diventa, sommando -5 a entrambi i membri, -5+3x+5>0-5, che diventa, dividendo entrambi i membri per 3: 3x/3>-5/3 e quindi x>-5/3

## Errori negli esercizi

### Errore

Copia. Tutti. I. Maledetti. Numeri.

Non puoi perderti per strada i numeri, se c'è scritto 2x sopra non può diventare x sotto.

Copia. Tutti. I. Maledetti. Segni.

-2x non è uguale a 2x.

Per quanto sia palloso, nello studio del segno/dominio devi sempre indicare se il numero-limite fa parte o no del dominio (pallino nero/pallino bianco). Se non lo fai, è un errore che potevi FACILMENTE evitare e può pesare molto.

Quando devi trovare il segno di un'espressione, NON sviluppare, ma semplifica: es. -2x>0 quando... x<0, non x<1/2!!!

### Suggerimenti

#### 4+3

4 cose da superiori: dominio, intersezione assi, parità, segno

3 cose da analisi: limite, derivata prima, derivata seconda

#### Verifica della coerenza

Lo studio del segno è compatibile con la direzione della derivata?

#### dx e c

Quando scrivi il segno di integrale ∫ la mano deve scrivere da sola, automaticamente dx.

Quando risolvi un integrale la mano deve scrivere da sola, automaticamente +c

(occhio, se fai integrali per sostituzione non scrivere dx, ma dt, dh, d(quello con cui hai sostituito!) (ma non dimenticarlo che è importante)

## DERIVISSIME

La derivata di x2 è 2x, questo si sa. La derivata di xn con n∈ℕ è nxn-1, quindi per esempio x52 ha per derivata 52x51. Il discorso non cambia per xq con q∈ℚ (in realtà neanche con xr, r∈ℝ), quindi la derivata di una radice quadrata è come la derivata di una potenza ½: √x = x½, quindi (√x)' = ½x½-1 = ½x = ½√(1/x), ma siccome √1 = 1:

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

La derivata di 5√x3 è come la derivata di x, cioè ⅗x⅗-1 = ⅗x-⅖ = ⅗5√x-2 =

$\frac{3}{5}{x}^{\frac{3}{5}-1}=\frac{3}{5}{x}^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5}\frac{1}{{x}^{\frac{2}{5}}}=\frac{3}{5\sqrt[5]{{x}^{2}}}$
1. Si riporta la frazione
2. Si abbassa di un grado l'esponente (x^3 diventa x^2)
3. Se abbassando l'esponente di uno si ottiene un numero negativo (⇒ l'esponente è minore della radice), si fa il reciproco di x (x => 1/x)

e la derivata di un esponente razionale è servita. In realtà siccome esponenti e radici non sono che due facce della stessa medaglia, entrambe si possono ricondurre a questa soluzione. Keep reading →

## Il primo senza Wolfram

E va bene, è facile.

Però è la prima che mi viene senza l'aiuto di Wolfram|Alpha, ed è completamente giusta.
Magari potevo semplificare (x-1) nel calcolo della derivata seconda, ma il risultato non cambia.

Studiando calcolo mi sono accorto che tutti i numeri sono importanti, ma uno lo è più degli altri: il diciotto.