Appunti di calcolo, Page 2 Categoria

	Somma	Sottrazione	Duplicazione	Bisezione
Sen	sen(α+β)	sen(α-β)	sen(2α)	sen(α/2)
	senα·cosβ+senβ·cosα	senα·cosβ-senβ·cosα	2senα·cosα	$\pm \sqrt{\frac{1-\mathrm{cos\alpha }}{2}}$
Cos	cos(α+β)	cos(α-β)	cos(2α)	cos(α/2)
	cosα·cosβ-senα·senβ	cosα·cosβ+senα·senβ	cos2α-sen2α	$\pm \sqrt{\frac{1+\mathrm{cos\alpha }}{2}}$
Tg	tg(α+β)	tg(α-β)	tg(2α)	tg(α/2)
	$\frac{\mathrm{tg\alpha }+\mathrm{tg\beta }}{1-\mathrm{tg\alpha }·\mathrm{tg\beta }}$	$\frac{\mathrm{tg\alpha }-\mathrm{tg\beta }}{1+\mathrm{tg\alpha }·\mathrm{tg\beta }}$	$\frac{\mathrm{<mi>tg\alpha </mi>}}{1-{\mathrm{tg\alpha }}^2}$	$\pm \sqrt{\frac{1-\mathrm{cos\alpha }}{1+\mathrm{cos\alpha }}}$

Prostaferesi
sen(α)+sen(β)	$2\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha +\beta \right)}{2}·\frac{\cos \left(\alpha -\beta \right)}{2}$
sen(α)-sen(β)	$2\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha -\beta \right)}{2}·\frac{\cos \left(\alpha +\beta \right)}{2}$
cos(α)+cos(β)	$2\frac{\cos \left(\alpha +\beta \right)}{2}·\frac{\cos \left(\alpha -\beta \right)}{2}$
cos(α)-cos(β)	$-2\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha +\beta \right)}{2}·\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$

Werner
sen(α)cos(β)	$\frac{\mathrm{sen}\left(\alpha +\beta \right)+\mathrm{sen}\left(\alpha -\beta \right)}{2}$
sen(α)sen(β)	$\frac{\cos \left(\alpha -\beta \right)-\cos \left(\alpha +\beta \right)}{2}$
cos(α)cos(β)	$\frac{\cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos \left(\alpha -\beta \right)}{2}$

Parametriche
sen(α)	$\frac{2\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1+{\tan }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$
cos(α)	$\frac{1-{\tan }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{1+{\tan }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

Prospetto vuoto

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Derivate banali
f(x)	f'(x)
c (costante)
x
Esponenti e radicali
f(x)	f'(x)
x2
xn
√x
1/x
xn/m
ax (a≥0)
Logaritmi
f(x)	f'(x)
ln(x)
loga(x)
Funzioni trigonometriche
f(x)	f'(x)
sen(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
sec(x)
csc(x)
asin(x)
acos(x)
Operazioni su funzioni
somma: f(x)+g(x)
prodotto: f(x)·g(x)
esponente: (f(x))n
divisione: f(x)/g(x)
composta: f(g(x)) oppure f(x) ∘ g(x)
inversa: f-1(x)
funzione esponente: f(x)g(y)

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{1}{2x^2+3x-5}$

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Le equazioni nella forma

$\frac{a{x}^2+bx+c}{a_1{x}^2+b_{1}x+c_1}$

producono una certa varietà di curve.
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Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{1-3x}{x-1}$

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Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{2x-1}{x-3}$

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Le disequazioni pongono un limite, un confronto tra due quantità, e la sfida è rendere costante una delle due quantità, cioè trasformare la disequazione in qualcosa di simile a x>n, con n noto (es. x>9/5).

In una disequazione le operazioni più comuni sono la somma (sottrazione) e il prodotto (divisione) per entrambi i membri, per esempio:

3x+5>0 diventa, sommando -5 a entrambi i membri, -5+3x+5>0-5, che diventa, dividendo entrambi i membri per 3: 3x/3>-5/3 e quindi x>-5/3

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Errore

Copia. Tutti. I. Maledetti. Numeri.

Non puoi perderti per strada i numeri, se c'è scritto 2x sopra non può diventare x sotto.

Copia. Tutti. I. Maledetti. Segni.

-2x non è uguale a 2x.

Per quanto sia palloso, nello studio del segno/dominio devi sempre indicare se il numero-limite fa parte o no del dominio (pallino nero/pallino bianco). Se non lo fai, è un errore che potevi FACILMENTE evitare e può pesare molto.

Quando devi trovare il segno di un'espressione, NON sviluppare, ma semplifica: es. -2x>0 quando... x<0, non x<1/2!!!

Suggerimenti

4+3

4 cose da superiori: dominio, intersezione assi, parità, segno

3 cose da analisi: limite, derivata prima, derivata seconda

Verifica della coerenza

Lo studio del segno è compatibile con la direzione della derivata?

dx e c

Quando scrivi il segno di integrale ∫ la mano deve scrivere da sola, automaticamente dx.

Quando risolvi un integrale la mano deve scrivere da sola, automaticamente +c

(occhio, se fai integrali per sostituzione non scrivere dx, ma dt, dh, d(quello con cui hai sostituito!) (ma non dimenticarlo che è importante)

Esponenti e radici

La derivata di x² è 2x, questo si sa. La derivata di xⁿ con n∈ℕ è nx^n-1, quindi per esempio x⁵² ha per derivata 52x⁵¹. Il discorso non cambia per x^q con q∈ℚ (in realtà neanche con x^r, r∈ℝ), quindi la derivata di una radice quadrata è come la derivata di una potenza ½: √x = x^½, quindi (√x)' = ½x^½-1 = ½x^-½ = ½√(1/x), ma siccome √1 = 1:

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

La derivata di ⁵√x³ è come la derivata di x^⅗, cioè ⅗x^⅗-1 = ⅗x^-⅖ = ⅗⁵√x^-2 =

$\frac{3}{5}{x}^{\frac{3}{5}-1}=\frac{3}{5}{x}^{-\frac{2}{5}}=\frac{3}{5}\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}=\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$

1. Si riporta la frazione
2. Si abbassa di un grado l'esponente (x^3 diventa x^2)
3. Se abbassando l'esponente di uno si ottiene un numero negativo (⇒ l'esponente è minore della radice), si fa il reciproco di x (x => 1/x)

e la derivata di un esponente razionale è servita. In realtà siccome esponenti e radici non sono che due facce della stessa medaglia, entrambe si possono ricondurre a questa soluzione. Keep reading →

E va bene, è facile.

Però è la prima che mi viene senza l'aiuto di Wolfram|Alpha, ed è completamente giusta.
Magari potevo semplificare (x-1) nel calcolo della derivata seconda, ma il risultato non cambia.

Studiando calcolo mi sono accorto che tutti i numeri sono importanti, ma uno lo è più degli altri: il diciotto.