Studio di una funzione: 1/(2x^2+3x-5)

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

12x2+3x-5

Zeri dell'espressione di II grado

Applichiamo la formula per gli zeri dell'espressione di II grado:

-b±b2-4ac2a

Nel nostro caso, a=2, b=3, c=-5

-3±32-4·2·-52·2

quindi:

-3±74

Il Δ è positivo, quindi le soluzioni sono due: -5/2 e 1.

Noti gli zeri, il denominatore si può quindi scrivere anche come:
(2x+5)(x-1)

Dominio

Il dominio è ℝ tranne i valori di x per cui il denominatore è zero.

Dominio = ℝ\{-5/2, 1}

Zeri

L'unico zero è nel punto P=(0, -1/5).

Simmetrie

La funzione non è né pari né dispari.

Si può notare infatti che il numeratore è costante e il denominatore ha sia un elemento di grado II diverso da zero sia un elemento di grado I, la funzione non può essere pari; inoltre essendo di secondo grado non può nemmeno essere dispari.

Segno

Dato che il numeratore è costante, il segno dipende unicamente dal denominatore.

x2 ha segno positivo, quindi l'espressione è > 0 per gli intervalli esterni agli zeri:

f(x) > 0 per ]-∞, -1/5[ ∨ ]1, +∞[

Limiti

Dallo studio degli zeri si capisce che i limiti verticali sono diversi a destra e a sinistra in entrambi i casi.

limx-15±12x2+3x-5=

uguale a

limx-15±10=

al contrario,

limx1±12x2+3x-5=±

Il limite per ±∞ è

limx±12x2+3x-5=limx±1x2+3x-5x2

Le due espressioni cerchiate tendono a zero e si possono ignorare; anche 2, che è costante, si può ignorare, perché per x sempre più grande il limite tende sempre più a zero+.

Asintoti

Sono presenti due asintoti verticali in corrispondenza dei punti esterni al dominio e un asintoto orizzontale corrispondente all'asse delle ascisse.

Minimi e massimi

Si applica la formula della derivata di 1/f(x):

1fx'=-f'xfx2

quindi

4x+32x2+3x-52

Lo studio del segno è semplice, perché il denominatore è sempre < 0 nel dominio della funzione.

Quindi la derivata ha segno negativo per x>-3/4 e la funzione ha un massimo locale in Pmin=(-3/4, -49/8).

Punti di flesso

La derivata seconda della funzione è

f(x) g(x)
funz. 4x+3 (2x^2+3x-5)2

oppure (2x+5)2(x-1)2

der. 4 2(2x2+3x-5)(4x+3)

Grafico

Grafico della funzione