1. Riepilogo generale / 1

Dominio e codominio

Come regola, se non è esplicitamente richiesto che il dominio e il codominio di una funzione siano insiemi ℕ, ℤ o ℚ, il dominio su cui ci esercitiamo è quello dei numeri reali ℝ.

Le eccezioni più frequenti si riscontrano per prendere in considerazione tre casi particolari:

1) il dominio esclude lo zero, solitamente quando x sta al denominatore di una frazione.
f:ℝ→ℝ
f:x→1/x
non è valida, poiché con queste premesse x può essere = 0.

La formulazione corretta per la definizione del dominio è una delle seguenti:
f:ℝ*→ℝ
oppure
f:ℝ\{0}→ℝ
o in maniera più prolissa
f:{x|x∈ℝ, x≠0}→ℝ

2) il dominio considera solo i numeri positivi (e lo zero), solitamente quando x sta sotto radice pari.
√x è valida (siamo sempre nel dominio dei reali) solo se x > 0, quindi
f:ℝ→ℝ
f:x→√(x)
non è valida.

La formulazione corretta per la definizione del dominio è una delle seguenti:
f:ℝ⁺, {0}→ℝ
o in maniera più prolissa
f:{x|x∈ℝ, x≥0}→ℝ

3) il dominio considera solo i numeri positivi (e lo zero), solitamente quando x sta sotto radice pari.
f:ℝ→ℝ
f:x→log(x)
non è valida.

La formulazione corretta per la definizione del dominio è una delle seguenti:
f:ℝ⁺→ℝ
o in maniera più prolissa
f:{x|x∈ℝ, x>0}→ℝ

Equazioni e disequazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono quelle espresse nella forma ax²+bx+c, ovviamente con a≠ 0, altrimenti saremmo di fronte a un'equazione di primo grado.

L'equazione è espressa anche come a₀x⁰+a₁x¹+a₂x², ovvero a₀+a₁x+a₂x²

Significato di a

Il segno del primo termine è rappresentato dal "verso" della parabola corrispondente: per ax² > 0 la parabola è rivolta "verso l'alto", mentre con ax² < 0 la parabola è rivolta verso il basso (ricordo che con ax² = 0 l'equazione è una retta, quindi il caso non è considerato qui).

Fig.1: y=x²

Fig.2: y=-x²

Il valore di a in ax² indica quanto la parabola è "aperta", in maniera inversamente proporzionale: più a è grande, più la parabola è stretta:

Fig.2a: y=6x²; Fig.2b: y=-6x²

Fig.3a: y=0.2x²; Fig.3b: y=-0.2x²

Finora tutte le parabole esaminate passano per il punto (0,0), poiché il primo elemento determina solo la "forma" e il "verso" della parabola, ma non lo spostamento sugli assi y e x.

Significato di b

Il valore di b in ax^²+bx fa "scivolare" la parabola, facendola sempre passare per il punto (0,0).

Fig.4a: y=x²+bx, dove b prende i valori di 1, 2, 3, 4, 5 - animazione

con a>0, b>0 fa "scivolare" la parabola "a sinistra", cioè il vertice si posiziona in (x, y) con x<0 e y<0.

Fig.4b: y=x²-bx, dove b prende i valori di -1, -2, -3, -4, -5 - animazione

con a>0, b<0 fa "scivolare" la parabola "a destra", cioè il vertice si posiziona in (x, y) con x>0 e y<0.

Fig.4c: y=-x²+bx, dove b prende i valori di 1, 2, 3, 4, 5 - animazione

con a<0 il comportamento di b si inverte, e b>0 fa "scivolare" la parabola a destra e b<0 a sinistra:

Fig.4d: y=x²-bx

NOTA: la parabola si sposta in diagonale in modo che un punto passi sempre per (0,0) (se c=0), e il vertice passi sempre per la parabola opposta:

Fig.5: y=-x²-bx confrontato con y=x² (in rosso)

Significato di c

Il valore di c in ax²+bx+c indica quanto la parabola si sposta lungo l'asse x.
Fig.6a: y=x²+x-3

Fig.6b: y=x²+x

Fig.6c: y=x²+x+3

Significato di discriminante

Nella formula per trovare le soluzioni delle equazioni di secondo grado:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

si chiama discriminante (Δ) la parte sotto radice quadrata b²-4ac.

Nell'àmbito dei numeri ℝ siccome Δ è sotto radice quadrata, il risultato di b²-4ac deve essere > 0, quindi se b²-4ac < 0 l'equazione non ha soluzioni.

Se il discriminante è = 0, è indifferente, nella formula riportata sopra, sommare o sottrarre la radice di zero, quindi l'equazione ha una sola soluzione, che corrisponde a

$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=-\frac{b}{2a}$

Si noti come il termine c scompaia dal risultato se la soluzione è unica.

Se il discriminante è > 0, le soluzioni sono due, una con +Δ e una con -Δ.

Calcolo delle soluzioni

Automatizzare il calcolo delle soluzioni è relativamente semplice, con un foglio di calcolo:

Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado ha valore per l'intervallo di x per cui y è positivo, se x > 0, oppure per cui y è negativo, se x < 0.

Se il segno dell'elemento di grado due è positivo, per x > 0 la disequazione ha come soluzione la parte "esterna" della parabola, per x < 0 ha come soluzione la parte "interna".

Se il segno dell'elemento di grado due è negativo, si inverte tutto, come si capisce facilmente dall'immagine: