Appunti di calcolo / Funzioni razionali

I prof tendono a essere precisi e a dare definizioni esatte, soprattutto quelli di matematica.

Però questi appunti si possono chiamare, in confidenza, anche "funzioni con la x sotto" o "funzioni con l'incognita al divisore".

La più famosa è 1/x:
1/x

e rappresenta il grafico della proporzionalità inversa: più aumenta x e più cala y, anche se né x né y arrivano mai a zero, perché l'altro asse arriverebbe all'infinito.

1/x è molto semplice ed elegante, perché è simmetrico lungo la retta y=-x e in tutte le direzioni tende agli assi dell'ascissa e dell'ordinata (cioè y=0 e x=0).

Aggiungere un numero costante:

1+1x

non fa altro che "alzare" così come sta le iperboli nel primo e terzo quadrante, facendo sì che tendano a y=1, y=2... y=n invece che y=0:

n+1/x
grafici per 1+1/x, 2+1/x e 5+1/x

Anche aggiungere x al dividendo fa "alzare" l'iperbole (1+1/x = (x+1)/x)

Togliere un valore costante, ovviamente, fa abbassare l'iperbole.

Se invece cambiamo di segno la frazione, facendo diventare negativo 1/x, la parabola si specchia lungo l'asse delle ordinate:

più o meno
grafici per y=2+1/x (grigio) e y=2-1/x (rosso)

Per "spostare" a destra o sinistra l'iperbole basta aggiungere o togliere unità dal divisore:

Grafico per y=1/(x+1) e per y=1/(x-4)
Grafico per y=1/(x+1) e per y=1/(x-4)

Attenzione! Scrivere 1/(x+1) oppure 1/(1+x) è lo stesso, perché la somma è commutativa; al contrario 1/(x-4) o 1/(4-x) da due risultati molto diversi, anzi specchiati:

x-4 VS 4-x
Grafici per
y=1/(x-4) (rosso)
y=1/(4-x) (blu)

Infine, aumentare il dividendo fa "allargare" l'iperbole:

Grafici per le funzioni y=1/x (blu) y=2/x (rosso) y=4/x (verde) y=8/x (grigio)
Grafici per le funzioni
y=1/x (blu)
y=2/x (rosso)
y=4/x (verde)
y=8/x (grigio)

Più diminuisce il dividendo e più l'iperbole "si appiattisce" sull'asse delle ascisse, perché si avvicina a una retta costante in cui qualunque valore di x porta a 0.

Inoltre più si assomigliano dividendo e divisore e più l'iperbole assomiglia a una retta in cui la variabile "conta" meno.
Per es. 3x/x è una retta costante = 3, con dominio ℝ\{0}

Mettere al dividendo una funzione di secondo grado crea due coppie di "iperboli deformate", con punti di accumulazione nelle due soluzioni della parabola:

Parabola con funzione x^2+3x-5 e reciproco
Parabola con funzione x^2+3x-5 e reciproco

Ovviamente, con Δ=0 c'è solo un punto di accumulazione e con Δ<0 gli unici limiti sono ±∞

Riassunto

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