Io lo dico...
...se Algebra Lineare va (con o senza integrazione orale) ho commesso un furto
...se Algebra Lineare va (con o senza integrazione orale) ho commesso un furto
Può capitare che abbia un'applicazione lineare. Ecco i passaggi per trasformarla in una matrice, tramite un esempio.
f:R3→R3
e1=(1,0,0)
f(e1) = e1
f(e2) = e1 + e2
f(e3) = e1 - 2e2
Per prima cosa scrivo una matrice in cui ogni regola sta in una colonna:
Se devo trovare f(v) per un v qualsiasi, devo solo moltiplicare il vettore di dimensione tre per questa matrice. Per esempio, v = (-2, 7, 9)
Ricordiamo che ℤ7 è il campo delle classi resto modulo 7. Si risolva il seguente sistema di equazioni lineari a coefficienti in ℤ7 in tre incognite nel campo ℤ7:
Utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss o di Cramer (in ogni caso dettagliando ciascun passaggio)
Portare il sistema a matrice:
R2 ↔ R3
R3 → R3 - 4R1
R3 → R3 + 4R2
R3 → R3 / 5R3
z = -7/5 (immediato)
y = -2z+2 = 24/5
x = -y -z = (-24+7)/5 = -17/5
Sia φ:ℝ3→ℝ3 la funzione definita dalla legge
Si verifichi che φ è un endomorfismo lineare del ℝ-spazio vettoriale ℝ3. Si calcoli dim(ker φ) e si fornisca una base di ker φ alfine di descrivere ker φ esplicitamente. Si dica se φ è o no biiettiva e perché.
Perché φ sia un endomorfismo lineare bisogna che φ(v+w) = φ(v) + φ(w) e che, dato un α∈ℝ, φ(αv) = αφ(v). La seconda condizione implica anche che φ(0)=0.
dim(ker φ) = dim(ℝ3) - dim(ℝ3) = 0
base(ker φ) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
Dal momento che la terza riga è la somma delle altre due, la funzione non è invertibile, quindi non è biiettiva.
Sia f: ℝ4 → ℝ la funzione lineare definita dalla legge f(x1, x2, x3, x4) = x1 + x2 + x3 + x4. Si dimostri che ker f è un sottospazio vettoriale. Si calcoli dim(ker(f)) e si dia una base di ker f.
ker f è l'insieme dei vettori tali che f(x1, x2, x3, x4) = 0. Il nucleo di un'applicazione lineare è sempre un sottospazio vettoriale.
dim(ker f) è data dalla dimensione dello spazio del dominio meno quella del codominio, quindi dim(ℝ4) - dim(ℝ) = 3.
Una base di ker f è data da tre vettori linearmente indipendenti, per esempio V1=(1, 1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 0, 0, 1)
Si considerino le matrici A, B, C
Le tre matrici sono linearmente dipendenti se xA+yB+zC = 0 per x, y, z diversi da zero.
La soluzione è il risultato del sistema
1) a+2b=0
2) a+2b+c = 0
3) 2a+4b+2kc-2c = 0
4) -a+bk-3b+c = 0
5) da 1) e 2) si ottiene che c = 0
6) da 4) si ottiene che a = b(k-3) e da 1) si ottiene che a = -2b, quindi (k-3) = -2 e k = 1
⇒ k = 1
Noto questo, si possono scrivere le matrici con questa forma:
⇒
Dal momento che A e C sono linearmente indipendenti (il det. della prima è -3, quello della seconda è 0), la dimensione del sottospazio è 2.
Soluzione
L'insieme è una base di ℝ3 sul campo ℝ se, dati tre vettori corrispondenti c1 = (3,0,-1), c2 = (2,-2,0), c3 = (-1,1,1), i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Sono linearmente dipendenti se esistono tre scalari non nulli s1, s2 , s3 tali che s1c1+s2c2+s3c3 = 0.
Se esistono, gli scalari sono il risultato di questo sistema:
a) 3s1+2s2-s3=0
b) -2s2+s3=0
c) -s1+s3=0
d) per c) si ha che s1=s3
e) per b) si ha che s3= 2s2
f) sostituendo in a) s1 e s3 si ottiene che l'unica soluzione è che tutti s1, s2 , s3 siano zero.
⇒ 1. i vettori sono linearmente indipendenti
Punto chiave: è una base se i vettori sono linearmente indipendenti, cioè se non ci sono scalari <> 0 per cui la somma dei vettori sia zero
La matrice della trasformazione lineare rispetto alle basi suddette è la seguente:
quindi per trovare le coordinate di P rispetto ad a bisogna risolvere il seguente sistema:
quindi applico Gauss a:
Sommo 1/3 della prima riga alla terza:
Sommo 1/3 della seconda riga alla terza:
Ottengo che:
z = 5/3 (immediato)
3x + 2y - z = 1 ⇒ 3x = -2 · 1/3 + 5/3 + 1 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = 2/3
Punto chiave: la matrice di trasformazione lineare è data dalle tre coordinate in "verticale" in una matrice, affiancate dalle coordinate del punto
Segue il primo articolo.
Uno spazio vettoriale è la combinazione di un gruppo abeliano e di un campo.
Il gruppo abeliano rappresenta un insieme di vettori, in cui sono presenti la somma e l'elemento neutro, mentre il campo rappresenta i coefficienti, con somma, prodotto, zero e uno.
Il campo di coefficienti (che chiameremo K) è assimilabile all'insieme dei numeri reali ℝ (ma "funziona" anche con i razionali ℚ) in cui le operazioni sono somma e prodotto, e gli elementi neutri sono zero e uno, a patto che dall'insieme sia escluso lo zero, perché 1/0 non è un'operazione possibile.
Il gruppo abeliano dei vettori (che chiameremo V) è assimilabile all'insieme ℝ con l'operazione di somma e l'elemento neutro zero.
Inoltre è definito un "prodotto esterno", cioè un'operazione per cui VxK→V.
Rispetto al prodotto tra due numeri, il prodotto esterno di uno spazio vettoriale
Un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale sottoinsieme di un altro spazio vettoriale chiuso per il prodotto scalare (cioè se faccio il prodotto scalare in un sottospazio vettoriale, il risultato è incluso nel sottospazio).
Due vettori si dicono linearmente dipendenti se esiste un coefficiente a per cui av1 = v2.
L'insieme dei vli determina una base (vedi oltre).
Siano U, V spazi vettoriali sul campo K
Una funzione lineare f è tale se:
Il rango è il numero di righe o colonne tra loro linearmente indipendenti.
Data una funzione lineare f:V→W, l'immagine di f è l'insieme di elementi w tali che f(v) = w.
Intuitivamente (non è la definizione "da libro"!!!) è simile al codominio di una funzione.
Sia f:U→V una funzione lineare.
Il kernel di f (denotato anche come kerf) è l'insieme di vettori la cui immagine è il vettore nullo.
La dimensione del kernel si può calcolare come dimensione del sottospazio meno la dimensione dell'immagine.
Un insieme S con un'operazione · che si rappresenta con (S, ·). (insieme + operazione = semigruppo)
L'operazione · è detta binaria su S, perché S · S → S
L'operazione · è associativa, cioè (a·b)·c = a·(b·c)
Esempi: la somma in ℕ, il prodotto in ℕ
Un monoide è un semigruppo in cui è definito anche un elemento neutro appartenente all'insieme.
Esempi: la somma nei numeri naturali (zero compreso) (ℕ, +, 0), il prodotto nei numeri interi e lo zero (ℤ, ·, 1)
Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi.
Esempi: A = {a, b}, B = {1, 2}, R1 = {(a, 1), (b, 1)} ⊆ A x B
Una funzione è una relazione in cui è definita un'associazione tra gli elementi del primo e quelli del secondo insieme.
I due insiemi non sono equivalenti, infatti si scrive A → B, perché a ogni elemento A è associato un solo elemento di B, mentre non è vero il contrario.
Per esempio, y = x2 per x = -2 o x = +2, y è sempre +4 (quindi y può essere "raggiunto" in due modi diversi), mentre invertendo la funzione, √4 dà luogo a due possibili risultati (±2). La funzione y = sin(x) dà un risultato compreso tra -1 e 1 in modo periodico, quindi f(x) = 0 per kπ, con k ∈ ℕ. La sua inversa, arcsin(x), è una funzione solo se è definita in un intervallo (per esempio, ±π).
Iniettività e suriettività sono già state trattate in precedenza.
Il carattere ∘ rappresenta la composizione di funzioni. In pratica, scrivere f∘g(x) è come scrivere f(g(x)).
La composizione è associativa, quindi f∘(g∘h) = (f∘g)∘h.
Attenzione! La composizione NON è commutativa, quindi f∘g è diverso da g∘f!
Un monoide di una funzione è definito da una funzione, un'operazione associativa e un elemento neutro.
Per esempio, (f(x) = x2, ∘, f(x) = x+0)
Un ssg è un sottoinsieme A di un semigruppo B in cui l'operazione ♦ è la stessa e a ♦ b ∈ A
Un sm è un sottosemigruppo di un monoide in cui l'elemento neutro appartiene al sottomonoide.
Si dice omomorfismo tra due monoidi (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N) una funzione f per cui f(x+My) = f(x)+Nf(y).
È il caso del logaritmo in base e, per cui loge(x*y) = loge(x)+loge(y).
Si dice endomorfismo di un monoide (M, +M, 1M) una funzione f per cui f(x+My) = f(x)+Mf(y). In pratica, è un omomorfismo su se stesso.
Si dice isomorfismo quando il morfismo è biiettivo, cioè formato da due funzioni biiettive.
Si dice automorfismo un isomorfismo di una funzione in se stessa (quindi è un endomorfismo biiettivo).
Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento è invertibile.
Per intenderci, (ℤ, +, 0) è un gruppo, perché per ogni x ∈ ℤ esiste un elemento che ne è l'inverso (visto che si parla di somma, -x).
Invece (ℕ, +, 0) no, perché -x non appartiene all'insieme.
Altro esempio: (ℝ, *, 1), dove * è l'operatore di moltiplicazione, non lo è, perché per x=0, l'inverso di x sarebbe 1/0.
Se l'operazione è commutativa, si chiama gruppo abeliano.
Già viste in matematica discreta, una classe resto è un insieme di insiemi in cui tutti gli elementi danno lo stesso resto di una divisione.
Per esempio, ℤ≡ 7 è l'insieme di sette insiemi di resti di una divisione per sette.
Il primo insieme contiene tutti i numeri interi che, divisi per sette danno come resto zero: {0, 7, -7, 14, -14, ...}
Il secondo tutti i numeri che danno resto 1: {1, 8, -6, 15, -13...}
e così via, fino all'insieme di resto sei: {6, -1, 13, -8...}
Un anello è una struttura con un insieme, due operazioni e un elemento neutro per la prima operazione, per cui vale la proprietà distributiva tra la prima e la seconda operazione.
(ℤ, +, *, 0) è un esempio: a*(b+c) = a*b + a*c
Se anche la seconda operazione ha un elemento neutro, allora si chiama Anello con identità (è necessario che l'elemento neutro della prima e della seconda operazione siano diversi).
Se la seconda operazione è commutativa, allora si dice Anello commutativo.
Un campo è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile.
E poi, si parla di spazi vettoriali...
Semigruppo | Insieme, operazione associativa | S → S |
Monoide | Insieme, operazione associativa, elemento neutro | S → S, el. neutro ∈ S |
Monoide | Insieme, operazione associativa, elemento neutro, ogni elemento è invertibile | a + (-a) = 0, oppure a * (1/a) = 1 (a∈ℝ\{0}) |
Relazione | Insieme, sottoinsieme di un prodotto cartesiano | S ⊆ AxB |
Funzione | Insieme, sottoinsieme di un prodotto cartesiano in cui ogni elemento in A ha uno e un solo elemento in B | S ⊆ AxB |
Morfismo | Una funzione che va da un monoide a un secondo tale per cui f(x+My) = f(x)+Nf(y) | Monoidi: (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N) |
Gruppo | Monoide in cui ogni elemento è invertibile | |
Anello | Insieme, operazione "somma" commutativa, operazione "prodotto", elemento neutro per la prima operazione; vale la proprietà distributiva |
(R, +, *, 0) t.c. monoide: (R, +, 0) semigruppo: (R, *) |
Campo | Insieme, operazione "somma" commutativa, operazione "prodotto" commutativa, elemento neutro per la prima operazione, elemento neutro per la seconda operazione; vale la proprietà distributiva, gli elementi neutri sono diversi. Ogni elemento è invertibile. |
(R, +, *, 0, 1) t.c. monoide: (R, +, 0) monoide: (R, *, 1) |