Nella selva dei nomi dell’algebra / 2

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Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è la combinazione di un gruppo abeliano e di un campo.
Il gruppo abeliano rappresenta un insieme di vettori, in cui sono presenti la somma e l'elemento neutro, mentre il campo rappresenta i coefficienti, con somma, prodotto, zero e uno.

Il campo di coefficienti (che chiameremo K) è assimilabile all'insieme dei numeri reali ℝ (ma "funziona" anche con i razionali ℚ) in cui le operazioni sono somma e prodotto, e gli elementi neutri sono zero e uno, a patto che dall'insieme sia escluso lo zero, perché 1/0 non è un'operazione possibile.

Il gruppo abeliano dei vettori (che chiameremo V) è assimilabile all'insieme ℝ con l'operazione di somma e l'elemento neutro zero.

Inoltre è definito un "prodotto esterno", cioè un'operazione per cui VxK→V.

Rispetto al prodotto tra due numeri, il prodotto esterno di uno spazio vettoriale

è associativo
è distributivo rispetto alla somma
ha un elemento di identità ∈ K tale che Vx1_V=V
non è commutativo

Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale è uno spazio vettoriale sottoinsieme di un altro spazio vettoriale chiuso per il prodotto scalare (cioè se faccio il prodotto scalare in un sottospazio vettoriale, il risultato è incluso nel sottospazio).

Vettori linearmente indipendenti

Due vettori si dicono linearmente dipendenti se esiste un coefficiente a per cui av₁ = v2.

L'insieme dei vli determina una base (vedi oltre).

Due segmenti di retta possono definire un piano? Sì, a patto che non siano segmenti della stessa retta! E tre segmenti possono definire uno spazio tridimensionale? Sì, a patto che siano linearmente indipendenti, cioè che tutti e tre i segmenti facciano parte di rette diverse. Se due segmenti fanno parte della stessa retta e il terzo di un'altra, si definisce comunque solo un piano, e se tutte e tre fanno parte della stessa retta... si definisce solo la retta!

Funzione lineare

Siano U, V spazi vettoriali sul campo K

Una funzione lineare f è tale se:

f(x+y) = f(x)+f(y)
f(αx) = αf(x) con α∈K e x ∈U

Rango

Il rango è il numero di righe o colonne tra loro linearmente indipendenti.

Immagine

Data una funzione lineare f:V→W, l'immagine di f è l'insieme di elementi w tali che f(v) = w.
Intuitivamente (non è la definizione "da libro"!!!) è simile al codominio di una funzione.

Kernel

Sia f:U→V una funzione lineare.

Il kernel di f (denotato anche come kerf) è l'insieme di vettori la cui immagine è il vettore nullo.

La dimensione del kernel si può calcolare come dimensione del sottospazio meno la dimensione dell'immagine.