Nella selva dei nomi dell'algebra / 1

Semigruppo

Un insieme S con un'operazione · che si rappresenta con (S, ·). (insieme + operazione = semigruppo)

L'operazione · è detta binaria su S, perché S · S → S

L'operazione · è associativa, cioè (a·b)·c = a·(b·c)

Esempi: la somma in ℕ, il prodotto in ℕ

Monoide

Un monoide è un semigruppo in cui è definito anche un elemento neutro appartenente all'insieme.

Esempi: la somma nei numeri naturali (zero compreso) (ℕ, +, 0), il prodotto nei numeri interi e lo zero (ℤ, ·, 1)

Relazione

Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi.

Esempi: A = {a, b}, B = {1, 2}, R1 = {(a, 1), (b, 1)} ⊆ A x B

Funzione

Una funzione è una relazione in cui è definita un'associazione tra gli elementi del primo e quelli del secondo insieme.

I due insiemi non sono equivalenti, infatti si scrive A → B, perché a ogni elemento A è associato un solo elemento di B, mentre non è vero il contrario.

Per esempio, y = x2 per x = -2 o x = +2, y è sempre +4 (quindi y può essere "raggiunto" in due modi diversi), mentre invertendo la funzione, √4 dà luogo a due possibili risultati (±2). La funzione y = sin(x) dà un risultato compreso tra -1 e 1 in modo periodico, quindi f(x) = 0 per kπ, con k ∈ ℕ. La sua inversa, arcsin(x), è una funzione solo se è definita in un intervallo (per esempio, ±π).

Iniettività e suriettività sono già state trattate in precedenza.

Semigruppo delle funzioni

Il carattere ∘ rappresenta la composizione di funzioni. In pratica, scrivere fg(x) è come scrivere f(g(x)).

La composizione è associativa, quindi f∘(gh) = (fg)∘h.

Attenzione! La composizione NON è commutativa, quindi fg è diverso da gf!

Monoide delle funzioni

Un monoide di una funzione è definito da una funzione, un'operazione associativa e un elemento neutro.

Per esempio, (f(x) = x2, ∘, f(x) = x+0)

Sottosemigruppo

Un ssg è un sottoinsieme A di un semigruppo B in cui l'operazione ♦ è la stessa e a ♦ b ∈ A

Sottomonoide

Un sm è un sottosemigruppo di un monoide in cui l'elemento neutro appartiene al sottomonoide.

Morfismi

Si dice omomorfismo tra due monoidi (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N) una funzione f per cui f(x+My) = f(x)+Nf(y).
È il caso del logaritmo in base e, per cui loge(x*y) = loge(x)+loge(y).

Si dice endomorfismo di un monoide (M, +M, 1M) una funzione f per cui f(x+My) = f(x)+Mf(y). In pratica, è un omomorfismo su se stesso.

Si dice isomorfismo quando il morfismo è biiettivo, cioè formato da due funzioni biiettive.

Si dice automorfismo un isomorfismo di una funzione in se stessa (quindi è un endomorfismo biiettivo).

Gruppi

Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento è invertibile.

Per intenderci, (ℤ, +, 0) è un gruppo, perché per ogni x ∈ ℤ esiste un elemento che ne è l'inverso (visto che si parla di somma, -x).

Invece (ℕ, +, 0) no, perché -x non appartiene all'insieme.

Altro esempio: (ℝ, *, 1), dove * è l'operatore di moltiplicazione, non lo è, perché per x=0, l'inverso di x sarebbe 1/0.

Se l'operazione è commutativa, si chiama gruppo abeliano.

Classi resto

Già viste in matematica discreta, una classe resto è un insieme di insiemi in cui tutti gli elementi danno lo stesso resto di una divisione.

Per esempio, ℤ≡ 7 è l'insieme di sette insiemi di resti di una divisione per sette.

Il primo insieme contiene tutti i numeri interi che, divisi per sette danno come resto zero: {0, 7, -7, 14, -14, ...}

Il secondo tutti i numeri che danno resto 1: {1, 8, -6, 15, -13...}

e così via, fino all'insieme di resto sei: {6, -1, 13, -8...}

Anello

Un anello è una struttura con un insieme, due operazioni e un elemento neutro per la prima operazione, per cui vale la proprietà distributiva tra la prima e la seconda operazione.

(ℤ, +, *, 0) è un esempio: a*(b+c) = a*b + a*c

Se anche la seconda operazione ha un elemento neutro, allora si chiama Anello con identità (è necessario che l'elemento neutro della prima e della seconda operazione siano diversi).

Se la seconda operazione è commutativa, allora si dice Anello commutativo.

Campo

Un campo è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile.

E poi, si parla di spazi vettoriali...

Semigruppo Insieme, operazione associativa S → S
Monoide Insieme, operazione associativa, elemento neutro S → S, el. neutro ∈ S
Monoide Insieme, operazione associativa, elemento neutro, ogni elemento è invertibile a + (-a) = 0, oppure a * (1/a) = 1 (a∈ℝ\{0})
Relazione Insieme, sottoinsieme di un prodotto cartesiano S ⊆ AxB
Funzione Insieme, sottoinsieme di un prodotto cartesiano in cui ogni elemento in A ha uno e un solo elemento in B S ⊆ AxB
Morfismo Una funzione che va da un monoide a un secondo tale per cui f(x+My) = f(x)+Nf(y) Monoidi: (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N)
Gruppo Monoide in cui ogni elemento è invertibile
Anello Insieme,
operazione "somma" commutativa,
operazione "prodotto",
elemento neutro per la prima operazione;
vale la proprietà distributiva
(R, +, *, 0) t.c.
monoide: (R, +, 0)
semigruppo: (R, *)
Campo Insieme,
operazione "somma" commutativa,
operazione "prodotto" commutativa,
elemento neutro per la prima operazione,
elemento neutro per la seconda operazione;
vale la proprietà distributiva, gli elementi neutri sono diversi. Ogni elemento è invertibile.
(R, +, *, 0, 1) t.c.
monoide: (R, +, 0)
monoide: (R, *, 1)