Compito di algebra lineare 25/05/2015 / 5

Esercizio 5

Ricordiamo che ℤ₇ è il campo delle classi resto modulo 7. Si risolva il seguente sistema di equazioni lineari a coefficienti in ℤ₇ in tre incognite nel campo ℤ₇:

{\begin{matrix} x + y + z = 0 \\ 4 x + z = 1 \\ y + 2 z = -2 \end{matrix}

Utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss o di Cramer (in ogni caso dettagliando ciascun passaggio)

Soluzione

Portare il sistema a matrice:

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{matrix}]

R₂ ↔ R₃

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

R₃ → R₃ - 4R₁

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & -4 & -3 & 1 \end{matrix}]

R₃ → R₃ + 4R₂

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & -7 \end{matrix}]

R₃ → R₃ / 5R₃

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -7/5 \end{matrix}]

z = -7/5 (immediato)

y = -2z+2 = 24/5

x = -y -z = (-24+7)/5 = -17/5