Compito di algebra lineare del 25 Maggio 2015 / 2

Esercizio 2

Sia φ:ℝ³→ℝ³ la funzione definita dalla legge

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}x+2y-z\\ 2x+3z\\ 3x+2y+2z\end{array}\right]$

Si verifichi che φ è un endomorfismo lineare del ℝ-spazio vettoriale ℝ³. Si calcoli dim(ker φ) e si fornisca una base di ker φ alfine di descrivere ker φ esplicitamente. Si dica se φ è o no biiettiva e perché.

Soluzione

Perché φ sia un endomorfismo lineare bisogna che φ(v+w) = φ(v) + φ(w) e che, dato un α∈ℝ, φ(αv) = αφ(v). La seconda condizione implica anche che φ(0)=0.

dim(ker φ) = dim(ℝ³) - dim(ℝ³) = 0

base(ker φ) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

Dal momento che la terza riga è la somma delle altre due, la funzione non è invertibile, quindi non è biiettiva.