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Il "trucco" di questi integrali è ricordare la derivata delle funzioni trigonometriche inverse (arcoseno e arcotangente):

$arcsin\left(f\left(x\right)\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{\sqrt{1-{f\left(x\right)}^2}}$

Mentre

$arctan\left(f\left(x\right)\right)=\frac{f\text{'}\left(x\right)}{1+{f\left(x\right)}^2}$

$\int \frac{3e^x}{1+e^{2x}}\mathrm{dx}$

Se "esportiamo" il 3, possiamo identificare l'integrale dell'arcotangente e la funzione e^x. Infatti e^2x = (e^x)².
La soluzione è

$3arctg\left(e^x\right)+C$

$\int \frac{1}{x\sqrt{1-{log}^{2}x}}dx$

Separiamo la derivata di log(x):

$\int \frac{1}{x}·\frac{1}{\sqrt{1-{log}^{2}x}}dx$

La soluzione è

$arcsin\left(log\left(x\right)+C\right)$

La regola con cui risolvere questi integrale è: se trovi f'(x)f(x)ⁿ (cioè una funzione elevata a potenza per la sua derivata) la soluzione immediata è:

$\frac{1}{n+1}f{\left(x\right)}^{n+1}$

Ricordiamo che √x = x^1/2 e che 1/x = x^-1.
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Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$x-\ln \left(x\right)$

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$\frac{3-x^2}{{\left(x-2\right)}^2}$

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$\frac{e^{1-x}}{x^2-1}$

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