Integrali: Esercizi svolti con spiegazione / 1

La regola con cui risolvere questi integrale è: se trovi f'(x)f(x)ⁿ (cioè una funzione elevata a potenza per la sua derivata) la soluzione immediata è:

$\frac{1}{n+1}f{\left(x\right)}^{n+1}$

Ricordiamo che √x = x^1/2 e che 1/x = x^-1.

Quando "manca" una costante alla derivata è sempre possibile moltiplicare per due numeri reciproci (es. 7 e 1/7), poiché il risultato netto è una moltiplicazione per 1, che non cambia nulla.
Uno dei due numeri può essere "portato fuori" dall'integrale, mantenendo la costante che serve a costruire la derivata.

$\int \sqrt{2x+5}\mathrm{dx}$

In questo caso, riscrivendo la radice come potenza:

$\int {\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{dx}$

Manca la derivata di 2x+5, che è 2. Per ottenerla moltiplichiamo per 1 = 2*1/2:

$\int 2·\frac{1}{2}{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{dx}$

Siccome sia 2 sia 1/2 sono costanti, possiamo decidere quali teniamo dentro e quali fuori. Buttiamo fuori 1/2 e ci teniamo dentro 2, che è la derivata di 2x+5:

$\frac{1}{2}\int 2{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{dx}$

Applichiamo la regola:

$\frac{1}{2}·\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}+1}+C$

sommiamo 1/2+1

$\frac{1}{2}·\frac{1}{\frac{3}{2}}{\left(2x+5\right)}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{\sout{2}}·\frac{\sout{2}}{3}{\left(2x+5\right)}^{\frac{3}{2}}+C$

Il risultato può essere scritto come potenza o come radice:

$\frac{1}{3}{\left(2x+5\right)}^{\frac{3}{2}}+C$

oppure

$\frac{1}{3}\sqrt{{\left(2x+5\right)}^3}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{{\left(x^2+5\right)}^3}}dx$

Riscrivendo l'integrale così, appaiono più evidenti la funzione e la derivata:

$\int \frac{1}{2}2x{\left(x^2+5\right)}^{-\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{2}\int 2x{\left(x^2+5\right)}^{-\frac{3}{2}}dx$

L'integrale si risolve quindi così:

$\frac{1}{2}·\frac{1}{-\frac{3}{2}+1}{\left(x^2+5\right)}^{-\frac{3}{2}+1}+C=\frac{1}{2}·-2{\left(x^2+5\right)}^{-\frac{1}{2}}+C=-\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}+C$

$\int x^3{\left(8+x^4\right)}^{-\frac{5}{3}}\mathrm{dx}$

Riscrivendo l'integrale così, appaiono più evidenti la funzione e la derivata:

$\frac{1}{4}\int 4x^3{\left(8+x^4\right)}^{-\frac{5}{3}}\mathrm{dx}$

facendo i conti:

$\frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{5}{3}}{\left(8+x^4\right)}^{1-\frac{5}{3}}+C=\frac{3}{8}{\left(8+x^4\right)}^{-\frac{2}{3}}+C$

scritto in altra forma:

$\frac{3}{8}\frac{1}{\sqrt[3]{{\left(8+x^4\right)}^2}}+C$