Integrali: Esercizi svolti con spiegazione / 3

$\int tan\left(x\right)\mathrm{dx}$

Come noto, la tangente è il rapporto tra seno e coseno:

$\int \frac{sin\left(x\right)}{cos\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Moltiplichiamo per -1 e -1, infatti -(-f(x)) = f(x), ma un "meno" lo portiamo fuori, l'altro "meno" si applica a sen(x), che diventa così la derivata di cos(x).
1/cos(x) equivale a cos(x)^-1.

Alla luce di questo possiamo trasformare l'integrale così, come reciproco di una funzione e derivata

$-\int -sin\left(x\right)·\frac{1}{cos\left(x\right)}\mathrm{dx}=log|cos\left(x\right)|+C$

$\int \frac{1}{sin\left(2x\right)}\mathrm{dx}$

Ricordiamo che sin(2x) = 2·sinx·cosx

$\int \frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Aggiungiamo cos(x) / cos(x) ed "estraiamo" il 1/2:

$\frac{1}{2}\int \frac{cos\left(x\right)}{sin\left(x\right){cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Possiamo scomporre la frazione nelle sue parti:

$\frac{1}{2}\int \frac{cos\left(x\right)}{sin\left(x\right)}\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Otteniamo la cotangente di x (cioè 1/tan(x)) e dall'altra parte la secante² di x (cioè 1/cos^2(x))

$\frac{1}{2}\int \frac{cos\left(x\right)}{sin\left(x\right)}\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{tan\left(x\right)}\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}$

1/cos²(x) è la derivata di tan(x), così il risultato dell'integrale è:

$log|tan\left(x\right)|+C$

 

 

Ricordiamo la regola per la derivazione delle funzioni composte:

$f\circ g\left(x\right)$

è la notazione equivalente a

$f\left(g\left(x\right)\right)$

la cui derivata si ricava con questa regola:

$\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)\text{'}=f\text{'}\left(g\left(x\right)\right)·g\text{'}\left(x\right)$