Studio di una funzione: x-ln(x)

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

x-lnx

Commento

La funzione è composta da due parti distinte: x e ln(x), che hanno i seguenti grafici "base":

x, lnx e -lnx
in blu y=x
in rosso y=ln(x)
in verde y=-ln(x)

Dominio

ln(x) ha come dominio ℝ+, cioè i reali positivi (zero escluso).
La funzione "eredita" il dominio da qui: ℝ+

Zeri

f(x)=0 ⇒ x=ln(x)
Come si vede dal grafico, x è sempre maggiore di ln(x) nel dominio, quindi la funzione non interseca mai l'asse delle ascisse.
Siccome x=0 è esterno al dominio, la funzione non interseca nemmeno l'asse delle ordinate, quindi non ci sono zeri.

Simmetrie

Siccome la funzione ha dominio ℝ+ non può essere pari né dispari.

Segno

La funzione è sempre positiva. Una possibile prova è risolvere la funzione per un caso particolare (es. f(1) = 1) e constatare che non ci sono zeri né asintoti (tranne l'asintoto a zero, valido solo a destra), quindi non cambia mai di segno.

Limiti

limx0+x-lnx=0--=+

 

limx+x-lnx=-+

Abbiamo due "parti" che tendono entrambe a infinito, ma di segno opposto.
Graficamente vediamo che y=x tende all'infinito più velocemente di -ln(x), ma come lo dimostriamo?
De l'Hôpital funziona solo con le frazioni, e qui non ne abbiamo, ma...

x-lnx=x1-lnxx

x tende all'infinito, 1 tende a... 1, mentre a ln(x)/x possiamo (finalmente) applicare De l'Hôpital, ottenendo

1x·1x

che tende a zero velocemente.

Perciò, per tornare al quesito iniziale, ora siamo sicuri che

limx+x-lnx=+

Verifichiamo l'eventuale presenza di un asintoto obliquo:

limx+x-lnx·1x=1-0

infatti x/x=1 e il limite di ln(x)/x è zero, come visto sopra.

Ora verifichiamo il termine costante dell'eventuale asintoto obliquo:
f(x) - mx
x-ln(x)-x = -ln(x), il cui limite per +∞ è +∞

Quindi non c'è asintoto obliquo.

Asintoti

x=0 è un asintoto verticale.

Minimi/massimi

f'(x) = 1-1/x, che è minore di zero per x > 1, è maggiore di zero per x < 1 ed è zero per x=1
Quindi la funzione decresce da 0 a 1, tocca un minimo in x=1, f(x)=1 e poi cresce.

Punti di flesso

f"(x) = 0+1/x^2, che è > 0 per ogni x ∈ dominio.
La funzione è sempre convessa e non ha punti di flesso.

Grafico della funzione