Schema sintetico per la risoluzione delle equazioni differenziali

NOTA: in questo articolo NON si parla di teoria delle eq. diff., per quella c'è YouMath, ma solo di come risolvere il 99% delle ED. Ovviamente servono studio, pratica e solide conoscenze teoriche, ma dopo aver studiato, questo prospetto va imparato a memoria per essere più veloci (il compito di analisi dura tre ore, non tre giorni!)

Indice dei contenuti

Prospetto

Variabili separabili → integrazione per y a destra e per x a sinistra
Primo ordine →
$e^{F (x)} \cdot (\int e^{- F (x)} \cdot g (x) dx)$
Secondo ordine
- Omogenea
  1. Δ > 0 → C₁e^λ₁x+C₂e^λ₂x
  2. Δ = 0 → C₁e^λ₁x+xC₂e^λ₂x
  3. Δ < 0 → e^αx(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))
- Non omogenea (come la omogenea più:)
  1. Senza funzioni trigonometriche, con α soluzione → x^mp(x)e^αx
  2. Senza fx. trig., senza α soluzione → p(x)e^αx
  3. Con fx. trig., con α soluzione → xe^αx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx))
  4. Con fx. trig., senza α soluzione → e^αx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx))

...e ora, qualche sintetica spiegazione:

A variabili separabili

y' = y * f(x)

per esempio: y' = y * 7x

Si risolvono portando y' e y dallo stesso lato, di solito a sinistra, e integrando a sinistra per y e a destra per x.

esempio
$\int \frac{1}{y} dy = \int 7 x dx$
⇒ log\|y\| = (7x²)/2 ⇒ y = e^(7x²)/2

Lineari del primo ordine

y' = y * f(x) + g(x)
Rispetto a prima, ora c'è anche una funzione che si somma

Allora si risolvono identificando f(x) e g(x). Di f(x) si deve trovare la primitiva (che chiameremo F(x)), poi si applica questa formula:

$e^{- F (x)} \cdot (\int e^{F (x)} \cdot g (x) dx)$

NOTA: in alcuni testi si trovano i segni di F(x) invertiti, poiché la funzione viene scritta come y' - y * f(x) = g(x) e quindi la formula diventa:

$e^{F (x)} \cdot (\int e^{- F (x)} \cdot g (x) dx)$

Secondo ordine

ay"+by'+cy=f(x)

1. Si trasforma l'equazione differenziale in una equazione di secondo grado, in cui l'ordine (il numero di "apici") diventa il grado (solitamente si usa λ al posto di x) e se ne trovano il delta e gli zeri

Esempi
y"-4y'-5y => λ²-4λ-5	2y"-4y'+2y => 2λ²-4λ+2	y"+4y'+5y => λ²+4λ+5
Δ = 36	Δ = 0	Δ = √-4
Zeri = (-1, 5)	Zeri = (1), con molteplicità 2	Zeri = (-2-2i, -2+2i)

2. A seconda del delta ci sono tre casi:

a. il delta è positivo, quindi esistono due soluzioni (λ₁ e λ₂). La formula da applicare è C₁e^λ₁x+C₂e^λ₂x

b. il delta è zero, quindi esistone una soluzione (λ) di molteplicità due. La formula da applicare è C₁e^λx+C₂xe^λx

c. il delta è negativo, quindi esistono due soluzioni complesse. La soluzione dell'equazione associata deve essere nella forma α±iβ, dove β rappresenta la parte immaginaria del numero complesso. La formula da applicare è e^αx(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))

3. Se l'equazione è omogenea (cioè ay"+by'+cy=0) allora abbiamo finito; se invece esiste un f(x) diverso da zero, allora bisogna aggiungere alla soluzione il caso particolare.

I. se la nostra f(x) NON contiene una funzione trigonometrica seno o coseno, sarà nella forma p(x)e^αxdove p(x) può essere qualunque cosa (numero, funzione...) e, se non compare un e-alla-qualcosa, si può considerare che α=0 e quindi e^αx= 1. Si distinguono due sotto-casi:

A. α è una delle soluzioni dell'equazione associata → x^mp(x)e^αx, dove m è la molteplicità della soluzione

B. α NON è una delle soluzioni dell'equazione associata → p(x)e^αx

II. se la nostra f(x) contiene una funzione trigonometrica seno o coseno, sarà nella forma e^αx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx)). Anche in questo caso, oltre a poter essere α=0 e quindi e^αx= 1, è anche possibile che P(x) o Q(x) siano zero, annullando seno o coseno. Anche qui i due sotto-casi:

A. α o β sono una delle soluzioni dell'equazione associata → xe^αx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx))

B. α o β NON sono una delle soluzioni dell'equazione associata → e^αx(P(x)cos(βx)+Q(x)sin(βx))

4. A questo punto abbiamo l'integrale particolare, dobbiamo derivarlo due volte e sostituirlo alla funzione originale. Fatti tutti i conti, si aggiunge il risultato alla soluzione generale trovata in 2.