Studio di una funzione: sqrt((1-x)/(1+x))

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

Dominio

Il dominio di √f(x) corrisponde a dove f(x) è positivo o zero.

$\frac{1-x}{1+x}\ge 0$

f(x)	-1		1
1-x	+	+	+	-
1+x	-	+	+	+
(1-x)/(1+x)	-	+	+	-

Attenzione, però! Il denominatore di una frazione deve essere diverso da zero.
Quindi (1-x)/(1+x) ha come dominio ℝ\{-1} e la sua radice quadrata ha come dominio ]-1, 1], cioè l'intervallo -1, 1 escluso -1 e incluso +1.

Zeri

La funzione vale zero quando il numeratore vale zero, cioè a +1: (1, 0)
Inoltre, quando x = 0, f(x) = 1, quindi f(x) passa anche per il punto (0, 1).

Simmetrie

Dal momento che la funzione ha uno zero in corrispondenza di (1, 0) e una discontinuità di secondo tipo (e un probabile asintoto verticale) verso x = -1, la funzione non è simmetrica.

Proviamolo:

$\sqrt{\frac{1-\left(-x\right)}{1+\left(-x\right)}}=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

che è diverso sia da

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

sia da

$\sqrt{\frac{-1+x}{-1-x}}$

Segno

Dai ragionamenti sul dominio si desume che f(x) è sempre positiva tranne nel punto (1, 0).

Limiti

Il limite da verificare è quello per x → -1⁺

$\underset{x\to -1}{\lim }\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=\frac{2}{0}=+\infty$

Quindi x=-1 è un asintoto vericale.

Derivata (minimi e massimi)

Siano

$f\left(x\right)=\frac{1-x}{1+x}$

e

$g\left(y\right)=\sqrt{y}$

Per prima cosa si calcoli la derivata di f(x):

$\frac{1-x}{1+x}$

	Num.	Den.
Prim.	1-x	1+x
Der.	-1	1

La derivata è quindi

$\frac{\text{-1-x-1+x}}{{\left(\text{1+x}\right)}^2}$

e cioè

$\frac{\text{-2}}{{\left(\text{1+x}\right)}^2}$

Per la regola di derivazione di una funzione composta

$\left(\left(g\circ f\right)\left(x\right)\right)\text{'}=g\text{'}\left(f\left(x\right)\right)·f\text{'}\left(x\right)$

siccome la derivata di √x è 1/2√x, la derivata della funzione esaminata è

$\frac{1}{2\text{f(x)}}·\text{f'(x)}$

Il prodotto di una funzione sempre negativa (f'(x)) per una sempre positiva (1/2f(x)) è negativo, quindi la funzione è discendente e non ha massimi né minimi.

$\frac{1}{2}·\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}·\frac{\text{-2}}{{\left(\text{1+x}\right)}^2}$

semplifico 1/2 e 2 e porto il segno - all'inizio:

$-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}·\frac{1}{{\left(\text{1+x}\right)}^2}$

Inoltre, il limite di f'(x) per x → 1^- è -∞ · 1/4 → -∞, che significa che in f(x), x=1 è tangente verticale.

Derivata seconda (punti di flesso)

Per la regola della derivata di un prodotto (f(x) · g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

Le due derivate sono:

	f(x)	g(x)
Prim.	$-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$	$\frac{1}{{\left(\text{1+x}\right)}^2}={\left(\text{1+x}\right)}^{-2}$
Der.	$-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}·\frac{1}{{\left(\text{1+x}\right)}^2}$	-2(1+x)-3= $-\frac{2}{{\left(1+x\right)}^3}$

Sommando tutto:

$-\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}·\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}·\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}·\frac{2}{{\left(1+x\right)}^3}$

raggruppo

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

e ottengo:

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}·\left(-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}·\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\frac{2}{{\left(1+x\right)}^3}\right)$

la prima parte (in rosso) è proprio f(x), che sappiamo essere sempre maggiore di zero tranne per x=1.
La seconda parte:

$-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}·\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\frac{2}{{\left(1+x\right)}^3}$

si può riscrivere così:

$-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}·\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\frac{2}{1+x}·\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}=\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}·\left(-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\frac{2}{1+x}\right)$

la prima espressione è un quadrato, quindi è sempre positiva. Con x=-1 l'espressione varrebbe zero, ma x=-1 è fuori dal dominio di f(x).

$-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\frac{2}{1+x}=-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}+\frac{2x+2}{{\left(1+x\right)}^2}=\frac{2x+2-1}{{\left(1+x\right)}^2}$

anche in questo caso il denominatore è sempre positivo, quindi il segno della derivata seconda si riduce a capire quanto vale x se 2x-1 = 0.
x = 1/2, quindi

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

In definitiva, c'è un punto di flesso nel punto

$\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$