Integrali: Cassetta degli attrezzi / 1

Svolgendo gli utilissimi esercizi con soluzioni del Politecnico di Torino, ho fatto una breve classificazione di cosa bisogna sapere per risolvere gli integrali (non tutti ma molti).

Nota: a fianco di ogni "attrezzo della cassetta" ho messo un soggettivo criterio di "pippaggine mentale", per cui un asterisco = ragionevole; 2 asterischi = difficile; 3 asterischi = fantasia malata

Potenze *

La prima cosa, importantissima, è riuscire a trasformare un'espressione in una potenza. Per fare questo bisogna:

  1. Moltiplicare la primitiva per
    11+n
  2. Elevare alla n+1

Per esempio, l'integrale di una potenza "secca":

x5dx=16x6+C

o, scritto in un'altra maniera:

x66+C

Se invece si è di fronte alla potenza di un'espressione diversa dalla semplice x, bisogna che sia presente la derivata dell'espressione (nell'esempio, la primitiva in blu, la derivata in verde):

2x·x2-15dx=16x2-16+C

Proprietà delle potenze

Due cose importanti da ricordare:

1x=x-1

e l'altra:

xn=x1n

È molto più comodo, quando si calcolano gli integrali, "tradurre" sempre 1/f(x) in f(x)-1 e √x in x1/2. Facciamo qualche esempio:

1x-33=x-3-3

Altro esempio:

x-535=x-553

Nell'ultimo esempio avevamo sia una radice sia una potenza: si può esprimere come potenza razionale, nella forma n/m.
Nulla vieta che una potenza (o radice) sia anche irrazionale (ma la dimostrazione che le regole per esponenti ∈ℚ siano le stesse di ℝ non è banale):

x-5πe=x-5πe

Moltiplicare per uno / prima parte **

Ebbene sì: uno dei "trucchi" più importanti per risolvere gli integrali è... moltiplicare per uno!

Il fatto è che anche 7/7 è uno.

E anche 1/7 x 7 è uno.

E una costante si può "estrarre" dall'integrale senza problemi.

5x·x2-15dx

In questo esempio a noi farebbe molto più comodo avere un 2 al posto del 5, quindi... moltiplichiamo per 2/5 e 5/2, ed estraiamo 5/2:

25·525x·x2-15dx=52255x·x2-15dx=52·16x2-16+C=512x2-16+C

Logaritmo *

Quando si integra un'espressione che ha al numeratore la derivata del denominatore, l'integrazione consiste nel logaritmo del denominatore.

Siccome l'argomento del logaritmo deve sempre essere positivo, il denominatore si mette in valore assoluto, se non è per sua natura > 0.

2xx2+4dx=log|x2+4|

Arcoseno e arcotangente **

Ricordare sempre i due integrali notevoli:

11-x2=arcsenx

e

11+x2=arctanx

da qui possiamo ricavare, scrivendo al denominatore la derivata di f(x) e al posto di x^2 → f(x)^2, le primitive di arcoseno e arcotangente di funzioni.

fx'1-fx2=arcsenfx

e

fx'1+fx2=arctanfx

Su questo c'è un esempio nell'articolo dedicato.

Funzioni composte *

Riconoscendo lo schema della funzione composta, si può applicare la "regoletta":

f(g(x))' = f'(g(x)) g'(x)

Per esempio:

7xcos3x2-5dx

La chiave dell'esercizio è intuire che la derivata di 3x^2 è 6x, ma abbiamo a disposizione 7x. Moltiplicando per 7/6 e per 6/7 possiamo "cambiare" 7x in 6x:

766xcos3x2-5dx

dove 6x è g(x)', cos(y) è f(y)' e 3x2-5 è g(x).

A questo punto basta ricordare la primitiva di cos(x) (che è sen(x)) e comporla con 3x2-5 e abbiamo la soluzione:

763x2-5+C

Integrazione per parti **

Come conseguenza della derivazione di un prodotto, si ottiene l'integrazione per parti:

fx·gx'=fx'·gx+fx·gx'

da cui

fx'·gx=fx·gx'-fx·gx'

integrando tutte le parti:

fx'·gx=fx·gx'-fx·gx'

posso semplificare l'integrale della derivata (in rosso) e riscrivere così:

fx'·gx=fx·gx-fx·gx'

che è esattamente la formula dell'integrazione per parti.

La formula è semplice. L'unica accortezza è scegliere correttamente quale parte integrare e quale derivare!

Esempio

xsenxdx

Primitiva Derivata
f x 1
g -cos(x) sen(x)

sen(x), in grassetto nel prospetto, "sparisce", ma soprattutto la x è "estratta" dall'integrale.

"Fuori" dall'integrale si ritrovano x e -cos(x), mentre "dentro" l'integrale si ritrovano 1 (che "sparisce") e -cos(x):

-xcosx--cosxdx

Il - "esterno" e il - "interno" si possono semplificare in un +.
L'integrale di cos(x) è banalmente sen(x), quindi la soluzione è

senx-xcosx+C

Altro esempio. Quando è presente ex o qualcosa di simile, l'integrazione per parti è molto semplice, perché è possibile derivare o integrare ex all'infinito senza difficoltà.

2x·e-xdx

2 si porta fuori:

2x·e-xdx

poi si procede per parti:

Primitiva Derivata
f x 1
g -e-x e-x

-2xe-x--e-xdx=-2xe-x+e-xdx=-2xe-x-e-x+C

Raccogliendo -2e-x:

-2e-xx+1+C

Moltiplicare per uno / seconda parte ***

Un "trucchetto" per integrare per parti è di aggiungere alla funzione da integrare una... moltiplicazione per uno!

Bisogna ricordare che nel caso estremo in cui sia presente solo uno, l'integrale è x. Per convincersene basta vedere l'integrale (se positivo) come rappresentazione di una superficie.

Integrale di dx da 0 a 2 vale 2

1dx=dx=x+C

Un integrale di questo genere è estremamente difficile da risolvere direttamente:

logx+1dx

ma se lo immaginiamo come 1 per log(x+1) si può risolvere per parti:

1·logx+1dx

Primitiva Derivata
f log(x+1) 1/(x+1)
g x 1

Riporto "fuori" le due primitive e dentro la primitiva di 1 e la derivata di log(x+1):

xlogx+1-x·1x+1dx

A questo punto aggiungiamo e togliamo 1/(x+1) ****

xlogx+1-x+1-1x+1dx

e poi separiamo x+1 da -1, facendone due integrali diversi:

xlogx+1-x+1x+1dx--1x+1dx

Il primo pezzo è l'integrale di dx, che vale 1; il secondo pezzo è 1/log(x+1), che vale log|x+1|

Il risultato finale è quindi:

xlogx+1-x-log|x+1|+C