From The Blog, Page 8

Poisson (discreta)

$P\left(X=k\right)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{\mathrm{-\lambda }}$

Valore atteso: λ

Varianza: λ

Uniforme

Nell'intervallo (a,b) la funzione ha probabilità

$f\left(x\right)=\frac{1}{b-a}$

Valore atteso: (a+b)/2

Varianza:

$\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}$

Normale

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Questa formula incasinata deriva dalla funzione di Gauss

${\mathrm{e}}^{-x^2}$

il cui integrale da -∞ a +∞ è π. Per questo al denominatore, per fare in modo che la derivata della normale sia uno e non kπ, c'è 1/√π.

Inoltre la funzione è più o meno "gonfia" a seconda di σ, e più o meno "spostata" dallo zero a seconda di μ.

Valore atteso: μ (la curva è simmetrica)

Varianza: σ²

Valore atteso

${\int }_{R}xf\left(x\right)$

Varianza

${\int }_R{x}^{2}f\left(x\right)$

Un dado non truccato viene lanciato 6 volte.
b) Si calcoli la cardinalità dell'evento "si ottengono tre diversi valori, ciascuno due volte".

Su sei lanci è possibile ottenere valori a coppie uguali in

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)$

modi diversi (U = uguale, D = diverso)

U	U	D	D	D	D
U	D	U	D	D	D
U	D	D	U	D	D
U	D	D	D	U	D
U	D	D	D	D	U
D	U	U	D	D	D
D	U	D	U	D	D
D	U	D	D	U	D
D	U	D	D	D	U
D	D	U	U	D	D
D	D	U	D	U	D
D	D	U	D	D	U
D	D	D	U	U	D
D	D	D	U	D	U
D	D	D	D	U	U

In quanti modi è possibile ottenere una coppia di numeri scelti tra sei lanciando un dado due volte?
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)$

In quanti modi è possibile ottenere una coppia di numeri scelti tra quattro lanciando un dado due volte?
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$

In quanti modi è possibile ottenere una coppia di numeri scelti tra due lanciando un dado due volte?
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)$

La probabilità condizionata è la probabilità che avvenga un evento dopo che ne è avvenuto un altro non certo.

Per esempio, qual è la probabilità che un pacco contenga il premio pià grande dopo che si è aperto un altro pacco.

L'intuizione in questo caso gioca brutti scherzi: la probabilità infatti non è la stessa che ci sarebbe iniziando direttamente con la premessa già verificata!

Per esempio, quante probabilità ci sono di fare almeno un sei lanciando un dado due volte? E lanciandoli assieme? Se faccio sei al primo lancio, non lancerò il dado una seconda volta, quindi la probabilità lanciandoli assieme è 12/36 (=2/6), mentre lanciandoli di seguito è 1/6 + 5/36 = 11/36. La differenza è che lanciandoli assieme contemplo un caso in più, il 6-6, che non avrei se lanciassi i dadi di seguito.

La probabilità condizionata si indica con P(A|B), che significa "probabilità che si verifichi A dato per certo B".

La formula è

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)\cap P\left(B\right)}{P\left(B\right)}$