Esercitazioni di calcolo 1 Categoria

$\underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }x+\sqrt{x^2+2}$

intuitivamente, se il limite di x tende a -∞ e il limite di √x² tende a +∞, i due termini tendono ad annullarsi e il limite è zero, ma sotto radice c'è quel +2 che rovina i piani. Siccome 2 è una costante, dovrebbe contare sempre meno nel limite, ma allora il limite qual è? E possiamo dimostrarlo? Keep reading →

$\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+3x-10}{x^2-25}$

-5 (in valore del limite) non fa parte del dominio della funzione, perché il denominatore sarebbe zero. Inoltre a -5 anche il numeratore è 0, quindi la funzione assume la forma indeterminata 0/0.

Il primo passaggio consiste Keep reading →

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

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$\int tan\left(x\right)\mathrm{dx}$

Come noto, la tangente è il rapporto tra seno e coseno:

$\int \frac{sin\left(x\right)}{cos\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Moltiplichiamo per -1 e -1, infatti -(-f(x)) = f(x), ma un "meno" lo portiamo fuori, l'altro "meno" si applica a sen(x), che diventa così la derivata di cos(x).
1/cos(x) equivale a cos(x)^-1.

Alla luce di questo possiamo trasformare l'integrale così, come reciproco di una funzione e derivata

$-\int -sin\left(x\right)·\frac{1}{cos\left(x\right)}\mathrm{dx}=log|cos\left(x\right)|+C$

$\int \frac{1}{sin\left(2x\right)}\mathrm{dx}$

Ricordiamo che sin(2x) = 2·sinx·cosx

$\int \frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Aggiungiamo cos(x) / cos(x) ed "estraiamo" il 1/2:

$\frac{1}{2}\int \frac{cos\left(x\right)}{sin\left(x\right){cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Possiamo scomporre la frazione nelle sue parti:

$\frac{1}{2}\int \frac{cos\left(x\right)}{sin\left(x\right)}\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}$

Otteniamo la cotangente di x (cioè 1/tan(x)) e dall'altra parte la secante² di x (cioè 1/cos^2(x))

$\frac{1}{2}\int \frac{cos\left(x\right)}{sin\left(x\right)}\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{tan\left(x\right)}\frac{1}{{cos}^2\left(x\right)}\mathrm{dx}$

1/cos²(x) è la derivata di tan(x), così il risultato dell'integrale è:

$log|tan\left(x\right)|+C$

 

 

Ricordiamo la regola per la derivazione delle funzioni composte:

$f\circ g\left(x\right)$

è la notazione equivalente a

$f\left(g\left(x\right)\right)$

la cui derivata si ricava con questa regola:

$\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)\text{'}=f\text{'}\left(g\left(x\right)\right)·g\text{'}\left(x\right)$

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+8}$

Dominio

Determino dove il denominatore è zero:

$\frac{6\pm \sqrt{6^2-4·8}}{2}=\frac{6\pm 2}{2}$

Dom: ℝ\{2, 4}

Dal momento che le radici del numeratore sono diverse da quelle del denominatore (vedi sotto: 3, 1), possiamo dire che in x=2 e x=4 sono presenti due asintoti verticali. Keep reading →

Equazioni e disequazioni con modulo

Le soluzioni di un'equazione con modulo sono, per
f:A→ℝ
|f(x)|=k

k < 0 ↠ impossibile
k = 0 ↠ f(x) = 0
k > 0 ↠ |f(x)|-k = 0

Esempio

f:A→ℝ
f(x)=|x^2-5| = 1

Il segno (positivo dentro il valore assoluto) indica che la parabola è rivolta verso l'alto; il Δ = +20 indica che esistono due soluzioni; però il valore assoluto fa raddoppiare ulteriormente le soluzioni, che diventano quattro perché il termine dopo l'uguale è ≠ 0.

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Dominio e codominio

Come regola, se non è esplicitamente richiesto che il dominio e il codominio di una funzione siano insiemi ℕ, ℤ o ℚ, il dominio su cui ci esercitiamo è quello dei numeri reali ℝ.

Le eccezioni più frequenti si riscontrano per prendere in considerazione tre casi particolari:

1) il dominio esclude lo zero, solitamente quando x sta al denominatore di una frazione.
f:ℝ→ℝ
f:x→1/x
non è valida, poiché con queste premesse x può essere = 0.

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