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$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2+a^2}$

La derivata di una frazione segue la regola per cui se h(x) è il numeratore e g(x) il denominatore, e quindi f(x) = h(x) / g(x), si ha che

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{h\text{'}\left(x\right)*g\left(x\right)-h\left(x\right)*g\text{'}\left(x\right)}{{g\left(x\right)}^2}$

Nel nostro caso:

	funzione	derivata
f(x)	$\sqrt{x^2-a^2}$	$\frac{\sout{2}x}{\sout{2}\sqrt{x^2-a^2}}$
g(x)	$x^2+a^2$	$2x$

nota: la derivata di x²+a² è 2x, e non 2x+2a, perché a è una costante (altrimenti la funzione sarebbe stata dichiarata come f(x, a) e sarebbe stata una funzione a due variabili)

Si ottiene:

$(\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}*x^2+a^2-2x\sqrt{x^2-a^2})*\frac{1}{{\left(x^2+a^2\right)}^2}$

che diventa:

$$ \frac{x(x^2+a^2)-\sqrt{x^2-a^2}*\sqrt{x^2-a^2}*2x}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$$

si moltiplicano i due termini uguali sotto radice (in viola):

$$ \frac{x(x^2+a^2)-\left(x^2-a^2\right)*2x}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$$

raccogliamo x al numeratore (in marrone):

$$ \frac{x(x^2+a^2-2x^2+2a^2)}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$$

e infine facciamo le somme:

$\frac{x(-x^2+3a^2)}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$

∎

 

Nome	Tipo di informazione scambiata	Descrizione breve brevissima	Alcuni protocolli della suite TCP/IP
Application	APDU	Usa i dati all'interno di un'applicazione.	HTTP, SMTP, DNS, RTP
Presentation	PPDU	Trasforma i dati trasmessi in "oggetti" logici.
Session	SPDU	Questo livello permette di gestire le sessioni tra utenti.
Transport	TPDU	Questo livello "compone il puzzle" dei pacchetti, garantendo che non manchi niente.	TCP, UDP
Network	packet	Questo livello determina come un'informazione viene instradata da una sorgente a una destinazione.	IP, ICMP
Data Link	frame	Questo livello garantisce che i pacchetti non contengano errori di trasmissione.	DSL, SONET, 802.11, Ethernet
Physical	bit	In questo livello si scambiano bit: ciò che questo livello fa è garantire che un bit che vale 1 per il sender valga 1 anche per il receiver e viceversa. Inoltre determina quando una connessione inizia e finisce e quale sarà il bitrate.

 

La distribuzione di Poisson si propone di risolvere problemi simili a quelli della distribuzione binomiale, ma con le due caratteristiche che il campione sia molto grande e che la probabilità sia molto piccola.

Per esempio, la probabilità che una persona abbia la sindrome di Krugen-Spassen è dello 0,003%, e la città di Mestre conta 250.000 persone. Quante probabilità ci sono che a Mestre ci sia qualcuno con la sindrome di Krugen-Spassen?

La risposta è 250.000 * 0,00003 = 7,5, cioè ci si può attendere che in tutta Mestre queste persone siano circa 7 o 8.

Applicando la "formulina" scopriamo quante probabilità ci sono che a Mestre ci siano esattamente tre persone con la sindrome:

$\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda }$

abbiamo λ = 7,5, n = 3

quindi λⁿ = 7,5^3 = 421,875, e^-λ = 0,000553

e P(X) = 0,03888

In definitiva, abbiamo circa il 4% di probabilità che ci siano esattamente tre persone in tutta Mestre.

• Percentuale di composizione: x₁ + x₂ + ... + x_n = 1
• Costo fisso aggiuntivo: creo una variabile y_i = 1 se x_i > 0, 0 altrimenti. Devo dichiarare che y ≥ ∑x / M, con M ≫ 0
• Almeno uno: dichiaro due variabili α e β che valgono o zero o uno e la cui somma è uno. In alternativa, dichiaro una variabile α e imposto x₁> αM e x₂ > (1-α)M, con M ≫ 0
• Uno e uno solo: come almeno uno, ma dichiaro anche che α + β = 1
• Esattamente tre: come uno e uno solo, ma dichiaro una y_i = 1 se x_i > 0, 0 altrimenti. Devo dichiarare che y ≥ ∑x / M, con M ≫ 0. A questo punto, la somma di tutti gli y è 3
• Come minimo 5: 5 - x ≤ αM con M ≫ 0
• Al massimo 8: x - 8 ≤ αM con M ≫ 0

I problemi di PL sono espressi nella seguente forma:

• max c^Tx
• soggetto a Ax = b
• x ≥ 0

dove A ∈ ℝ^{n x m}, c ∈ ℝⁿ, b ∈ ℝ^m sono i dati del problema e x ∈ ℝⁿ è il vettore delle variabili.

Cosa significa tutto questo?

n rappresenta il numero di dimensioni del problema

m rappresenta il numero di vincoli del problema

c è un coefficiente a n dimensioni, c^T è la notazione usata nella definizione del problema (che differenza c'è?)

A è l'insieme dei coefficienti dei vincoli per ciascuna dimensione per ciascun vincolo.

 

Quando il bel bambino con il faccino sorridente estrae un numero al Lotto, ancora non sa che sta per applicare il coefficiente binomiale.

Quello che sa, è che quando estrae una pallina con il numeretto sopra, sta estraendo un numero tra 90, e quindi dopo la prima estrazione ha determinato un sistema determinato su 90 possibili (un sistema è: esce 1, un sistema è: esce 2, un sistema è: esce 3... eccetera... un sistema è: esce 90).

Quando estrae due palline, determina uno tra 90*89 sistemi possibili, perché la prima pallina ha una probabilità su 90 di essere estratta, ma la seconda solo una su 89.

Facciamo l'esempio di due numeri: 17 e 88. Potrebbero uscire 17 e 88 oppure 88 e 17, e la vincita sarebbe la stessa. Aggiungendo un terzo numero, per es. 45, la vincita ci sarebbe con 17, 45, 88 oppure 17, 88, 45 oppure 45, 17, 88 oppure 45, 88, 17 oppure 88, 17, 45 oppure 88, 54, 17. Va bene qualunque delle sei.

E con quattro numeri? Se il quarto è 23, abbiamo 24 combinazioni:

• 17, 23, 45, 88
• 17, 23, 88, 45
• 17, 45, 23, 88
• 17, 45, 88, 23
• 17, 88, 23, 45
• 17, 88, 45, 23
• 23, 17, 45, 88
• 23, 17, 88, 45
• 23, 45, 17, 88
• 23, 45, 88, 17
• 23, 88, 17, 45
• 23, 88, 45, 23
• 45, 17, 23, 88
• 45, 17, 88, 23
• 45, 23, 17, 88
• 45, 23, 88, 17
• 45, 88, 17, 23
• 45, 88, 23, 17
• 88, 17, 23, 45
• 88, 17, 45, 23
• 88, 23, 17, 45
• 88, 23, 45, 17
• 88, 45, 17, 23
• 88, 45, 23, 17

La funzione che descrive questo andamento è n!, cioè ogni numero in più moltiplica il prodotto precedente:

1 => 1

2 => 2 (2*1)

3 => 6 (3*2)

4 => 24 (6*4)

5 => 120 (24*5)

6 => 720 (120*6)

...

E quale funzione descrive il denominatore?

Alla prima estrazione le combinazioni possibili sono 90, alla seconda sono 90*89, alla terza sono 90*89*88 eccetera eccetera.

Le estrazioni saranno quindi:

1. 1/90
2. 2/8010
3. 6/704880
4. 24/61324560
5. 120/5273912160 = 0,0000000227

Ma cosa succederebbe se il bambino continuasse a estrarre tutti i numeri, uno alla volta?

A 89 numeri estratti resterebbe un solo numero, e ci sarebbe la certezza che il 90° numero estratto sia proprio quello! Quante probabilità ci sono che quel numero sia - per esempio - 49? Esattamente una su 90.

E cosa succede quando mancano da estrarre due numeri? Quante probabilità ci sono che siano estratti per ultimi proprio il 49 e l'81? Sono 2/8010.

Per riepilogare tutto, al numeratore la formula è n!, mentre al denominatore è "il contrario" del fattoriale, cioè il fattoriale non partendo da 1, ma dal numero più alto verso giù per tante volte quante sono le estrazioni.

Per ottenere questo numero, basta dividere il fattoriale del numero totale di palline (90! è circa 1 seguito da 138 zeri) per il fattoriale del numero di palline meno il numero di estrazioni (85! è circa 3 seguito da 128 zeri)

Problema 1: ho un sacchetto con sette palline. Due sono 1, due sono 2, due sono 3, una è 4. In totale ho sette palline. Posso usare la seguente notazione:

$X=\{\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ \frac{2}{7}& \frac{2}{7}& \frac{2}{7}& \frac{1}{7}\end{array}$

Quante probabilità ci sono che estragga una pallina con valore minore o uguale a due?

2/7 + 2/7 = 4/7

E se estraggo due palline (senza reinserimento)?
Qual è la probabilità di ottenere una somma di 2? Dovrei pescare entrambe le volte le palline che valgono 1. Alla prima estrazione ho 2/7 di probabilità di pescare una delle due palline 1, alla seconda la situazione è cambiata:

$X=\{\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ \frac{1}{6}& \frac{2}{6}& \frac{2}{6}& \frac{1}{6}\end{array}$

Dal momento che ho già estratto una delle palline, l'estrazione delle altre aumenta di probabilità: c'è 1/6 di probabilità che estragga l'altra pallina 1.

Il totale è di 2/7 * 1/6 = 2/42

Il 42 al denominatore è una costante dell'estrazione di due palline tra 7. Se estraessi tre palline, il den. sarebbe 7*6*5, se estraessi quattro palline sarebbe 7*6*5*4...