Dicembre 2016 Archive

Quando si usa

• Conosciamo la composizione della popolazione
• Si può dividere in due nettamente la popolazione
• C’è reinserimento

Esempi

Si consideri un'urna contenente quattro elementi, la cui probabilità di estrazione è

$X=\left\{\frac{1}{\mathrm{2/7}}\frac{2}{\mathrm{2/7}}\frac{3}{\mathrm{2/7}}\frac{4}{\mathrm{1/7}}\right\}$

in alternativa si possono considerare due biglie 1, due biglie 2, due biglie 3 e una sola biglia 4 (oppure 4, 4, 4, 2...).
Le biglie 1 e 2 sono bianche; le biglie 3, 4 sono rosse
Qual è la probabilità che si estragga una biglia bianca facendo 3 estrazioni?

Formula

• n = numero di estrazioni
• p = probabilità che si verifichi un successo
• X˜B_p(n, p) = distribuzione binomiale (B) per n estrazioni con p probabilità
• k = insieme di estrazioni, da 0 a n

$P\left(X=k\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$

Soluzione dell'esempio

• p = 4/7 (la probabilità che esca il bianco)
• n = 3 (il numero di estrazioni)

$P\left(S_3=2\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{4}{7}\right)}^2{\left(\frac{3}{7}\right)}^{3-2}=3*\frac{16}{49}*\frac{3}{7}\approx \mathrm{0,41982}$

Quando si usa

• Conosciamo la composizione della popolazione
• Si può dividere in due nettamente la popolazione
• Non c'è reinserimento

Esempi

Un software consiste di 12 programmi, 5 dei quali necessitano di un upgrade. Se vengono scelti a caso 4 programmi per un test. Qual è la probabilità che almeno 2 di essi siano da aggiornare? Qual è il numero medio di programmi da aggiornare tra i 4 scelti?

Formula

• X = Variabile aleatoria che conta il numero di successi
• n = numero di estrazioni
• N = numero di elementi
• K = numero di elementi "successo" (successo significa che è vero per il criterio. Per es. se cerchiamo un bug in un programma, "successo" significa che è stato trovato)
• X˜I_p(N, K, n) = distribuzione ipergeometrica (I) in N campioni di K successi per n estrazioni
• k = ciascuno dei numeri compresi tra max{0, n-(N-K)} e min{n, K}.
  max{0, n-(N-K)} significa che se faccio più estrazioni di quanti siano i casi di non-successo, sono sicuro di estrarre almeno un successo (es. bianco = successo, rosso = insuccesso; ho un'urna con 4 bianche e 5 rosse, faccio 6 estrazioni)
• min{n, K} il ragionamento è analogo

$P\left(X=k\right)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$

Soluzione dell'esempio

• N = 12 (il numero di programmi della popolazione)
• n = 4 (il numero di estrazioni)
• K = 5 (il numero di successi)
• X ≥ 2 (almeno due casi di successo, richiede il maggiore/uguale)

P(X≥2) = P(X≤1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))

$1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{12}-5}{4-0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{12}}{4}\right)}-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{12}-5}{4-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{12}}{4}\right)}=1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{12}}{4}\right)}-\frac{5\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{12}}{4}\right)}$

Dal momento che un coefficiente binomiale si calcola così:

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)=\frac{m!}{n!\left(m-n\right)!}$

e che

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{0}\right)=1$

e che

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1}\right)=m$

otteniamo che

• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)=35$
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=495$

Con qualche passaggio otteniamo:

$1-\frac{35}{495}-\frac{5*35}{495}=\frac{19}{33}$

Mentre le variabili discrete (in cui il campione può essere solo un numero intero, come il lancio di un dado o il numero di pecore) si possono studiare una ad una, anche se il numero può velocemente diventare immenso (es. la probabilità di vincere al lotto) e il campione può essere infinito, le variabili continue hanno un tipo di infinito legato a una proprietà dell'insieme ℚ che si estende a ℝ: c'è sempre un numero tra due numeri distinti.

Per questo, gli strumenti per affrontare il calcolo delle probabilità di un evento esprimibile in modo continuo (es. la distanza tra due auto) devono essere diversi.
Un ruolo chiave ha l'integrale: se alle elementari si spiega la statistica con torte e fette (che non sono altro che integrali in coordinate polari), all'università si rispolverano quegli integrali che - o perché la funzione ha un dominio limitato o perché l'integrale è improprio, arrivano comunque ad avere una superficie di 1.

Infatti nel calcolo della probabilità una delle caratteristiche dell'integrale è che non può mai avere valori negativi. Che senso avrebbe, infatti, una probabilità negativa? Per questo è possibile considerare un integrale alla stregua di un'area - cosa che in analisi non si può fare - in cui due punti distinti x₁ e x₂ appartenenti al dominio denotano un'area che rappresenta la probabilità che l'esito della variabile sia compreso tra x₁ e x₂. Questa superficie si chiama densità di probabilità.

La funzione di ripartizione P(x) indica la probabilità da 0 a x, con x ∈ [0, 1]. Dal momento che, come già detto, la funzione integranda non può assumere mai valori negativi, la funzione di ripartizione è sempre crescente e li limite di P(x) per x tendente a -∞ è 0 e il limite per x tendente a +∞ è 1. Infine, P(x) è continua a destra.

Varianza

Parliamo di varianza. La varianza è un indice di quanto gli esiti si differenzino dalla media. Per esempio, se lancio un dado tre volte e ottengo 2, 4, 6, poi ripeto l'esperimento e ottengo 4, 4, 4, la media in entrambi i casi è 4, ma la varianza è diversa. Se sommassi semplicemente gli scarti tra la media e ciascun esito, otterrei zero in entrambi i casi (-2 + 0 + 2 e 0 + 0 + 0).
La varianza si calcola facendo la differenza tra due elementi: il primo è la somma di tutti i quadrati dell'esito per la probabilità che possa verificarsi (nel nostro esempio, 2²*1/6 + 4²*1/6 + 6²*1/6, raccogliendo 1/6 si ottiene (2² + 4² + 6²) * 1/6, cioè 56/6 = ˜9,33333. L'altro elemento è il quadrato del valore atteso.
Il valore atteso è la somma degli esiti possibili per ciascuna probabilità: 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6. In questo caso specifico, ogni esito ha una probabilità uguale a quella degli altri, quindi si può raccogliere 1/6 e scrivere (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.
La varianza di questo caso è 9,33333 - 3,5 = 5,83333.

Nel caso di una variabile continua, occorre trovare la differenza tra due integrali, uno che rappresenta la superficie associata al quadrato della variabile e l'altro al quadrato di tutto l'integrale. Si ottiene questa formula:

$\underset{A}{\int }{x}^{2}f\left(x\right)\mathrm{dx}-{\left(\underset{A}{\int }xf\left(x\right)\mathrm{dx}\right)}^2$
dove A è lo spazio campionario.

Moda

La moda di una variabile aleatoria discreta è molto semplice da calcolare: è il valore (o i valori) più ricorrente.

La moda di una V.A. continua è data dal massimo assoluto (o dai massimi, se più di uno) della funzione.

Mediana e quantili

La mediana è il valore a metà dello spazio campionario. Se lo spazio è discreto ed è composto da un numero pari di elementi, se ne prende la media dei due centrali.

Esempio 1: un dado ha come esiti possibili 1, 2, 3, 4, 5, 6; la mediana è data dalla media di 3 e 4, cioè 3,5.
Esempio 2: le età dei colleghi dell'ufficio sono {24, 30, 33, 45, 55, 62, 65}. La mediana è il valore centrale (45)

Un quantile è il valore che si trova con una suddivisione diversa dalla metà. Per esempio, il percentile rappresenta ciascuno degli elementi che si trovano a cavallo tra 1/100 del campione e il campione successivo (es. il valore a metà tra 34/100 e 35/100)

Quante probabilità ci sono di fare 6 lanciando un dado non truccato una volta?

Una su sei! Questo è ovvio. E quante probabilità ci sono di fare 6 lanciandolo due volte? Se lanciandolo una volta è 1/6, lanciandolo due volte sarà 1/6 + 1/6, cioè 2/6.

E invece no. Se lanciassimo un dado sei volte, infatti, ci sarebbero 6/6 probabilità di ottenere 6, e l'esperienza ci insegna che non è così. In realtà, la probabilità di ottenere un sei lanciando un dado sei volte è un po' meno di 2/6, così come lanciandolo tre volte è minore di 3/6 e così via. In questo modo si arriva a lanciare 6 volte un dado e a ottenere una probabilità alta, ma non certa, di ottenere un sei.

OK, questo corrisponde all'esperienza, ma allora qual è il ragionamento corretto da fare?
Facendo un rapido conteggio, le probabilità che esca sei con un lancio sono 1/6 (˜0,33333):

1
2
3
4
5
6 *

Ma se lancio due dadi le probabilità che venga fuori almeno un sei sono 11/36 (˜0,30555):

1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6 *
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6 *
3 1
3 2
3 3
3 4
3 5
3 6 *
4 1
4 2
4 3
4 4
4 5
4 6 *
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
5 6 *
6 1 *
6 2 *
6 3 *
6 4 *
6 5 *
6 6 *

In pratica, considero un esito positivo solo la coppia di sei, che pesa per 1/36 sugli esiti.
Cosa succede se lancio un dado tre volte? E se lo lancio 1000 volte?
Se lo lancio tre volte posso ancora contare, su 216, il numero di esiti da "scartare", che sono quelli in cui il 6 compare due o più volte, da considerare come un esito solo: 1 6 1, 1 6 2, 1 6 3, ... , 6 6 6. Ma quanti sono? Il conto diventa un po' impegnativo.

Conviene invece contare gli esiti negativi e sottrarli da 1. Così nel caso di un lancio 1/6 deriva da 1-5/6, mentre il caso di 11/36 (numero un po' più "difficile") deriva da uno meno le probabilità che NON esca il sei: 5/6 * 5/6 = 25/36.
Con tre lanci, il numero di probabilità che NON esca 6 è di 5/6 * 5/6 * 5/6 = 125/216, quindi le probabilità che esca un sei sono 1-(125/216) = 91/216 = (˜0,42130).
Con mille lanci, la probabilità che non esca mai il sei è 1 - 5^1000 / 6^1000 = 6,58800 preceduto da 80 zeri (0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000658800).
Improbabile, ma non impossibile.

Concludo con una considerazione. Il lancio delle monete non ha memoria, per cui l'esito precedente non influenza in alcun modo quello successivo. Ma in questo ragionamento, il fatto che esca un sei al primo lancio influenza l'esito del lancio successivo: se esce sei, il secondo lancio è ininfluente!

1 => 1/6 di probabilità che tra il primo e il secondo lancio esca almeno un 6
2 => 1/6 di probabilità che tra il primo e il secondo lancio esca almeno un 6
3 => 1/6 di probabilità che tra il primo e il secondo lancio esca almeno un 6
4 => 1/6 di probabilità che tra il primo e il secondo lancio esca almeno un 6
5 => 1/6 di probabilità che tra il primo e il secondo lancio esca almeno un 6
6 => 1 di probabilità (100%) che tra il primo e il secondo esca almeno un 6