Distribuzione ipergeometrica

Indice dei contenuti

Quando si usa

Conosciamo la composizione della popolazione
Si può dividere in due nettamente la popolazione
Non c'è reinserimento

Esempi

Un software consiste di 12 programmi, 5 dei quali necessitano di un upgrade. Se vengono scelti a caso 4 programmi per un test. Qual è la probabilità che almeno 2 di essi siano da aggiornare? Qual è il numero medio di programmi da aggiornare tra i 4 scelti?

Formula

X = Variabile aleatoria che conta il numero di successi
n = numero di estrazioni
N = numero di elementi
K = numero di elementi "successo" (successo significa che è vero per il criterio. Per es. se cerchiamo un bug in un programma, "successo" significa che è stato trovato)
X˜I_p(N, K, n) = distribuzione ipergeometrica (I) in N campioni di K successi per n estrazioni
k = ciascuno dei numeri compresi tra max{0, n-(N-K)} e min{n, K}.
max{0, n-(N-K)} significa che se faccio più estrazioni di quanti siano i casi di non-successo, sono sicuro di estrarre almeno un successo (es. bianco = successo, rosso = insuccesso; ho un'urna con 4 bianche e 5 rosse, faccio 6 estrazioni)
min{n, K} il ragionamento è analogo

$P (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}$

Soluzione dell’esempio

N = 12 (il numero di programmi della popolazione)
n = 4 (il numero di estrazioni)
K = 5 (il numero di successi)
X ≥ 2 (almeno due casi di successo, richiede il maggiore/uguale)

P(X≥2) = P(X≤1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))

$1 - \frac{(\binom{5}{0}) (\binom{12 - 5}{4 - 0})}{(\binom{12}{4})} - \frac{(\binom{5}{1}) (\binom{12 - 5}{4 - 1})}{(\binom{12}{4})} = 1 - \frac{(\binom{7}{4})}{(\binom{12}{4})} - \frac{5 (\binom{7}{3})}{(\binom{12}{4})}$

Dal momento che un coefficiente binomiale si calcola così:

$(\binom{m}{n}) = \frac{m!}{n! (m - n)!}$

e che

$(\binom{m}{0}) = 1$

e che

$(\binom{m}{1}) = m$

otteniamo che

$(\binom{7}{4}) = 35$
$(\binom{7}{3}) = 35$
$(\binom{12}{4}) = 495$

Con qualche passaggio otteniamo:

$1 - \frac{35}{495} - \frac{5 * 35}{495} = \frac{19}{33}$