Distribuzione binomiale

Quando si usa

• Conosciamo la composizione della popolazione
• Si può dividere in due nettamente la popolazione
• C’è reinserimento

Esempi

Si consideri un'urna contenente quattro elementi, la cui probabilità di estrazione è

$X=\left\{\frac{1}{\mathrm{2/7}}\frac{2}{\mathrm{2/7}}\frac{3}{\mathrm{2/7}}\frac{4}{\mathrm{1/7}}\right\}$

in alternativa si possono considerare due biglie 1, due biglie 2, due biglie 3 e una sola biglia 4 (oppure 4, 4, 4, 2...).
Le biglie 1 e 2 sono bianche; le biglie 3, 4 sono rosse
Qual è la probabilità che si estragga una biglia bianca facendo 3 estrazioni?

Formula

• n = numero di estrazioni
• p = probabilità che si verifichi un successo
• X˜B_p(n, p) = distribuzione binomiale (B) per n estrazioni con p probabilità
• k = insieme di estrazioni, da 0 a n

$P\left(X=k\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$

Soluzione dell’esempio

• p = 4/7 (la probabilità che esca il bianco)
• n = 3 (il numero di estrazioni)

$P\left(S_3=2\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{4}{7}\right)}^2{\left(\frac{3}{7}\right)}^{3-2}=3*\frac{16}{49}*\frac{3}{7}\approx \mathrm{0,41982}$