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Semigruppo
Un insieme S con un'operazione · che si rappresenta con (S, ·). (insieme + operazione = semigruppo)
L'operazione · è detta binaria su S, perché S · S → S
L'operazione · è associativa, cioè (a·b)·c = a·(b·c)
Esempi: la somma in ℕ, il prodotto in ℕ
Monoide
Un monoide è un semigruppo in cui è definito anche un elemento neutro appartenente all'insieme.
Esempi: la somma nei numeri naturali (zero compreso) (ℕ, +, 0), il prodotto nei numeri interi e lo zero (ℤ, ·, 1)
Relazione
Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi.
Esempi: A = {a, b}, B = {1, 2}, R1 = {(a, 1), (b, 1)} ⊆ A x B
Funzione
Una funzione è una relazione in cui è definita un'associazione tra gli elementi del primo e quelli del secondo insieme.
I due insiemi non sono equivalenti, infatti si scrive A → B, perché a ogni elemento A è associato un solo elemento di B, mentre non è vero il contrario.
Per esempio, y = x2 per x = -2 o x = +2, y è sempre +4 (quindi y può essere "raggiunto" in due modi diversi), mentre invertendo la funzione, √4 dà luogo a due possibili risultati (±2). La funzione y = sin(x) dà un risultato compreso tra -1 e 1 in modo periodico, quindi f(x) = 0 per kπ, con k ∈ ℕ. La sua inversa, arcsin(x), è una funzione solo se è definita in un intervallo (per esempio, ±π).
Iniettività e suriettività sono già state trattate in precedenza.
Semigruppo delle funzioni
Il carattere ∘ rappresenta la composizione di funzioni. In pratica, scrivere f∘g(x) è come scrivere f(g(x)).
La composizione è associativa, quindi f∘(g∘h) = (f∘g)∘h.
Attenzione! La composizione NON è commutativa, quindi f∘g è diverso da g∘f!
Monoide delle funzioni
Un monoide di una funzione è definito da una funzione, un'operazione associativa e un elemento neutro.
Per esempio, (f(x) = x2, ∘, f(x) = x+0)
Sottosemigruppo
Un ssg è un sottoinsieme A di un semigruppo B in cui l'operazione ♦ è la stessa e a ♦ b ∈ A
Sottomonoide
Un sm è un sottosemigruppo di un monoide in cui l'elemento neutro appartiene al sottomonoide.
Morfismi
Si dice omomorfismo tra due monoidi (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N) una funzione f per cui f(x+My) = f(x)+Nf(y).
È il caso del logaritmo in base e, per cui loge(x*y) = loge(x)+loge(y).
Si dice endomorfismo di un monoide (M, +M, 1M) una funzione f per cui f(x+My) = f(x)+Mf(y). In pratica, è un omomorfismo su se stesso.
Si dice isomorfismo quando il morfismo è biiettivo, cioè formato da due funzioni biiettive.
Si dice automorfismo un isomorfismo di una funzione in se stessa (quindi è un endomorfismo biiettivo).
Gruppi
Un gruppo è un monoide in cui ogni elemento è invertibile.
Per intenderci, (ℤ, +, 0) è un gruppo, perché per ogni x ∈ ℤ esiste un elemento che ne è l'inverso (visto che si parla di somma, -x).
Invece (ℕ, +, 0) no, perché -x non appartiene all'insieme.
Altro esempio: (ℝ, *, 1), dove * è l'operatore di moltiplicazione, non lo è, perché per x=0, l'inverso di x sarebbe 1/0.
Se l'operazione è commutativa, si chiama gruppo abeliano.
Classi resto
Già viste in matematica discreta, una classe resto è un insieme di insiemi in cui tutti gli elementi danno lo stesso resto di una divisione.
Per esempio, ℤ≡ 7 è l'insieme di sette insiemi di resti di una divisione per sette.
Il primo insieme contiene tutti i numeri interi che, divisi per sette danno come resto zero: {0, 7, -7, 14, -14, ...}
Il secondo tutti i numeri che danno resto 1: {1, 8, -6, 15, -13...}
e così via, fino all'insieme di resto sei: {6, -1, 13, -8...}
Anello
Un anello è una struttura con un insieme, due operazioni e un elemento neutro per la prima operazione, per cui vale la proprietà distributiva tra la prima e la seconda operazione.
(ℤ, +, *, 0) è un esempio: a*(b+c) = a*b + a*c
Se anche la seconda operazione ha un elemento neutro, allora si chiama Anello con identità (è necessario che l'elemento neutro della prima e della seconda operazione siano diversi).
Se la seconda operazione è commutativa, allora si dice Anello commutativo.
Campo
Un campo è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile.
E poi, si parla di spazi vettoriali...
| Semigruppo | Insieme, operazione associativa | S → S |
| Monoide | Insieme, operazione associativa, elemento neutro | S → S, el. neutro ∈ S |
| Monoide | Insieme, operazione associativa, elemento neutro, ogni elemento è invertibile | a + (-a) = 0, oppure a * (1/a) = 1 (a∈ℝ\{0}) |
| Relazione | Insieme, sottoinsieme di un prodotto cartesiano | S ⊆ AxB |
| Funzione | Insieme, sottoinsieme di un prodotto cartesiano in cui ogni elemento in A ha uno e un solo elemento in B | S ⊆ AxB |
| Morfismo | Una funzione che va da un monoide a un secondo tale per cui f(x+My) = f(x)+Nf(y) | Monoidi: (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N) |
| Gruppo | Monoide in cui ogni elemento è invertibile | |
| Anello | Insieme, operazione "somma" commutativa, operazione "prodotto", elemento neutro per la prima operazione; vale la proprietà distributiva |
(R, +, *, 0) t.c. monoide: (R, +, 0) semigruppo: (R, *) |
| Campo | Insieme, operazione "somma" commutativa, operazione "prodotto" commutativa, elemento neutro per la prima operazione, elemento neutro per la seconda operazione; vale la proprietà distributiva, gli elementi neutri sono diversi. Ogni elemento è invertibile. |
(R, +, *, 0, 1) t.c. monoide: (R, +, 0) monoide: (R, *, 1) |