RO: prova intermedia 2015-2016 / 1
Tema
Con l'avvicinarsi delle festività natalizie la pasticceria Tànalo deve preparare cioccolate di 2 tipi (tipo I e tipo II). Inoltre ciascun tipo di cioccolata viene prodotto con 4 qualità diverse, a seconda della percentuale di burro di cacao presente. La produzione viene pianificata sulla base delle informazioni relative agli anni precedenti, riassunte come segue:
- la quantità complessiva delle qualità 1 e 2 delle due cioccolate, deve essere non inferiore alla quantità complessiva delle qualità 3 e 4 delle due cioccolate;
- la somma delle (quantità di) qualità 1 e 2 del cioccolato I, non può essere inferiore alla somma delle (quantità di) qualità 3 delle cioccolate I e II;
- la quantità complessiva di cioccolato prodotta deve essere compresa tra i 600 Kg ed i 750 Kg;
- in base a vincoli sulla disponibilità di materie prime, la pasticceria deve anche rispettare una ed una soltanto delle seguenti limitazioni:
- la quantità della qualità 1 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 1 del cioccolato di tipo II;
- la quantità della qualità 4 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 4 del cioccolato di tipo II;
- se si produce la qualità j (j ∈ {1, 2, 3, 4}) del cioccolatino i (i ∈ {1, 2}), allora bisogna pagare un costo di acquisizione di un nuovo macchinario, pari a 260 Euro.
Sapendo che ogni Kg di cioccolatini del tipo I costa 9 Euro ed ogni Kg di cioccolatini del tipo II costa 10 Euro, formulare un modello di PL/PLI per la minimizzazione dei costi, dal quale si desuma la quantità di cioccolato di ciascun tipo e ciascuna qualità da produrre.
Svolgimento
La pasticceria produce due prodotti (Prod1, Prod2), ciascuno ha quattro percentuali di burro di cacao (Perc1, Perc2, Perc3, Perc4). I prodotti si possono indicare come xi, j, in cui i indica il prodotto e j la percentuale di burro di cacao
| Perc1 | Perc2 | Perc3 | Perc4 | |
|---|---|---|---|---|
| Prod1 | x1, 1 | x1, 2 | x1, 3 | x1, 4 |
| Prod2 | x2, 1 | x2, 2 | x2, 3 | x2, 4 |
la quantità complessiva delle qualità 1 e 2 delle due cioccolate, deve essere non inferiore alla quantità complessiva delle qualità 3 e 4 delle due cioccolate:
| Perc1 | Perc2 | Perc3 | Perc4 | |
|---|---|---|---|---|
| Prod1 | x1, 1 | x1, 2 | x1, 3 | x1, 4 |
| Prod2 | x2, 1 | x2, 2 | x2, 3 | x2, 4 |
Il vincolo si esprime con x1, 1 + x1, 2 + x2, 1 + x2, 2 >= x1, 3 + x1, 4 + x2, 3 + x2, 4
la somma delle (quantità di) qualità 1 e 2 del cioccolato I, non può essere inferiore alla somma delle (quantità di) qualità 3 delle cioccolate I e II;
| Perc1 | Perc2 | Perc3 | Perc4 | |
|---|---|---|---|---|
| Prod1 | x1, 1 | x1, 2 | x1, 3 | x1, 4 |
| Prod2 | x2, 1 | x2, 2 | x2, 3 | x2, 4 |
Il vincolo si esprime con x1, 1 + x1, 2 >= x1, 3 + x2, 3
la quantità complessiva di cioccolato prodotta deve essere compresa tra i 600 Kg ed i 750 Kg
Il vincolo si esprime con 600 Kg <= Peso(x1, 1 + x1, 2 + x2, 1 + x2, 2 + x1, 3 + x1, 4 + x2, 3 + x2, 4) <= 750 Kg
in base a vincoli sulla disponibilità di materie prime, la pasticceria deve anche rispettare una ed una soltanto delle seguenti limitazioni:
- la quantità della qualità 1 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 1 del cioccolato di tipo II;
- la quantità della qualità 4 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 4 del cioccolato di tipo II;
Il vincolo si esprime con ((x1, 1 < x1, 2) ⋃ (x1, 4 < x2, 4)) ¬ ((x1, 1 < x1, 2) ∩ (x1, 4 < x2, 4))
se si produce la qualità j (j ∈ {1, 2, 3, 4}) del cioccolatino i (i ∈ {1, 2}), allora bisogna pagare un costo di acquisizione di un nuovo macchinario, pari a 260 Euro.
In questo caso creiamo una variabile on/off, che vale 1 se il prodotto è uno di quelli "nuovi" e 0 se non lo è:
yi, j, dove anche in questo caso i è il tipo di prodotto e j la quantità di burro di cacao.
yi, j vale 1 se i ∈ {1, 2} e j ∈ {1, 2, 3, 4}, zero altrimenti.
min 9(x1, 1 + x1, 2 + x1, 3 + x1, 4) + 10(x2, 1 + x2, 2 + x2, 3 + x2, 4) + 260(x1, 1 + x1, 2 + x2, 1 + x2, 2 + x1, 3 + x1, 4 + x2, 3 + x2, 4)
forma abbreviata: