Quando penso all'infinito, faccio sempre fatica.
Immagino i granelli della sabbia di una spiaggia, ma poi penso che con molta pazienza è possibile contarli tutti, uno a uno. Una volta ho anche provato a immaginare quanti possono essere, e forse sono 10 o 100 miliardi, che sono tanti, ma non sono infiniti.
Allora penso a tutti i granelli del mondo. Google dice che sono circa 100.000.000.000.000.000.000.000. Tanto, certo, ma ci sta in una cella di Excel, che lo scrive come 1E+23 (1 seguito da 23 zeri).
Poi penso a cose complicate, numeri che non servono a niente, come il fattoriale di 1E+23 elevato alla 1E+23, che è impossibile da pensare, ma nonostante questo c'è sempre un numero che si può esprimere come "il più grande che riesci a pensare più uno", e questa definizione ricorsiva non lascia scampo. Un numero, per quanto grande sia, ha sempre un numero più grande.
L'infinito è così, purtroppo, non si può pensare in termini concreti. Si appoggia la testa sul numero 1 e si guarda più lontano possibile. Se si ha poca vista ci si ferma a 10.000 (una miriade, μυριάς, dicevano i greci), se si ha un po' di vista si arriva a un numerone, se si ha occhio di falco si vede un numero di Graham, ma poi arriva lo scemo del villaggio e dice "più uno", e il tentativo di immaginare l'infinito crolla.
Per questo, forse, l'infinito era avverso agli antichi greci, che pure erano bravini in matematica, e fino alla seconda metà dell'800 nessuno l'aveva mai trattato seriamente.
Forse la cosa più difficile da capire dell'infinito, è che è un insieme, e non un numero. I numeri (per ora si parla di naturali) hanno la caratteristica di poter rappresentare un solo elemento (es. quinto) oppure la cardinalità di un insieme (es. cinque). Infinito, invece, è solo una cardinalità: rappresenta una grandezza, ma non un numero.
Per rendere un po' più concreto questo concetto, se immagino due insiemi finiti, e immagino una relazione tra due insiemi, posso dire se hanno la stessa cardinalità se a esiste una corrispondenza biunivoca tra coppie di elementi. Per esempio:
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 5 | 15 |
| 10 | 30 |
| 15 | 45 |
| 20 | 60 |
| 25 | 75 |
Insieme1 e Insieme2 hanno la stessa cardinalità perché se conto gli elementi di Insieme1 e quelli di Insieme2 ottengo lo stesso numero (5), ma anche perché se creo una relazione per cui un elemento di Insieme2 è il triplo del corrispondente di Insieme1, e posso dimostrare che nessun elemento di nessun insieme "resta solo", hanno la stessa cardinalità.
Se gli insiemi che tento di confrontare sono infiniti, l'idea di contare è fuori discussione, quindi devo usare il secondo metodo. Facciamo un esercizio facile: sono di più i numeri maggiori di zero o quelli minori? Se Insieme1 contiene tutti i numeri positivi, e Insieme2 può essere rappresentato come il negativo di ciascun elemento di Insieme1, hanno la stessa cardinalità.
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 1 | -1 |
| 2 | -2 |
| 3 | -3 |
| 4 | -4 |
| … | -… |
Facile, vero? Alziamo un po' l'asticella.
Sono di più i numeri positivi oppure i numeri positivi pari? La risposta ovvia è che i numeri positivi pari sono la metà dei soli numeri positivi, giusto?
Facciamo la solita tabellina.
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| … | … |
C'è qualcosa che non torna. Questa tabellina assomiglia tremendamente a quella precedente. In effetti, possiamo mettere in relazione ogni numero al suo doppio, e ogni numero pari alla sua metà.
Abbiamo appena visto una cosa controintuitiva dell'infinito: il doppio di infinito è infinito!
E se creassi un insieme che cresce molto più velocemente? Per esempio, le potenze di due?
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| … | … |
Niente da fare, se posso trovare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri naturali e un altro insieme infinito, significa che i due insiemi hanno la stessa cardinalità, cioè infinita numerabile. Siccome ai matematici piacciono i simboli "strani", questa cardinalità è indicata con aleph, la prima lettera dell'alfabeto ebraico, con uno zero in pedice: ℵ0.
L'insieme dei numeri naturali si indica con ℕ, e sono i numeri 1, 2, 3, 4... L'insieme dei numeri interi include lo zero e i numeri negativi, e si indica con ℤ. Abbiamo già visto che i numeri positivi e quelli negativi hanno la stessa cardinalità, e includere lo zero non è un problema, basta solo "scalare" di un numero:
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | -1 |
| 3 | -2 |
| 4 | -3 |
| ... | -... |
L'insieme dei numeri razionali - quelli con un numeratore e un denominatore - si indicano con ℚ, e hanno la caratteristica di essere infiniti in due modi diversi: non solo sono grandi in modo infinito, ma riempiono anche lo spazio tra un intero e quello successivo. Per esempio, tra 0 e 1 c'è ½, tra 0 e ½ c'è ¼ e così via. Quindi ci sono sicuramente più numeri razionali che naturali, giusto?
Immaginiamo di rappresentare tutti i numeri razionali in una tabella in cui ogni colonna è un numeratore e ogni riga è un denominatore.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1/1 | 2/1 | 3/1 | 4/1 | 5/1 | … |
| 2 | 1/2 | 2/2 | 3/2 | 4/2 | 5/2 | … |
| 3 | 1/3 | 2/3 | 3/3 | 4/3 | 5/3 | … |
| 4 | 1/4 | 2/4 | 3/4 | 4/4 | 5/4 | … |
| 5 | 1/5 | 2/5 | 3/5 | 4/5 | 5/5 | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
e poi procediamo a numerare ogni frazione procedendo in diagonale, nell'ordine indicato dai numeri rossi (sono riportati solo i primi dieci numeri rossi):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 1/1 |
3 2/1 |
6 3/1 |
10 4/1 |
5/1 | … |
| 2 | 2 1/2 |
5 2/2 |
9 3/2 |
4/2 | 5/2 | … |
| 3 | 4 1/3 |
8 2/3 |
3/3 | 4/3 | 5/3 | … |
| 4 | 7 1/4 |
2/4 | 3/4 | 4/4 | 5/4 | … |
| 5 | 1/5 | 2/5 | 3/5 | 4/5 | 5/5 | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
Ebbene, se i numeri in rosso sono quelli naturali e quelli in nero quelli razionali, ci siamo sbagliati: anche i razionali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i naturali.
Siamo dunque arrivati alla fine? Se anche i razionali, che sembravano avere una cardinalità infinito per infinito, sono numerabili, e con un sistema tutto sommato semplicissimo, forse tutti i numeri, di qualunque tipo, si possono mettere in corrispondenza con i naturali?
Forse sì. O forse c'è una classe di numeri così numerosa da essere "più infinita dell'infinito"?
C'è una classe di numeri che non è razionale. Questi numeri si possono ottenere come rapporto - per esempio √2, oppure π - tra grandezze incommensurabili, come il quadrato e la sua diagonale o il cerchio e il suo diametro.
Questi numeri non si possono esprimere come relazione (ratio) tra due numeri interi, infatti mentre un numero razionale può avere una sequenza infinita di decimali, ma si ripetono (per esempio 10/3 = 3,33333..., e il 3 si ripete all'infinito, oppure 10/7 = 1,428571, e il 428571 si ripete all'infinito), invece la sequenza della parte decimale di un numero razionale non si può prevedere, e sembra che le cifre si susseguano in modo casuale (es. √2 = 1,41421356... ma non c'è modo di sapere la cifra successiva, se non calcolandola).
La non ripetibilità della parte decimale è proprio il punto di partenza di una dimostrazione che i numeri non razionali sono di più di quelli naturali (e quindi, degli interi, e dei razionali).
La dimostrazione è per assurdo, che significa immaginare un'ipotesi e, basandosi su quella, arrivare a un paradosso.
L'ipotesi è che i numeri reali siano numerabili, cioè che in qualche modo si possano associare univocamente ai numeri naturali. Se fosse così, potremmo costruire un'altra "tabellina" come quelle viste sopra, in cui a sinistra ci sono i numeri naturali in progressione e sulla destra ciascuno dei reali:
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 1 | 0,3745328945… |
| 2 | 0,2346869238… |
| 3 | 0,2793459273… |
| 4 | 0,9002134823… |
| … | … |
Dal momento che vorrei dimostrare che NON esiste alcuna funzione che leghi Insieme1 con Insieme2, non sono tenuto a dire perché a 1 corrisponda proprio 0,3745328945…, l'importante è che ipotizzi che in Insieme2 ci siano tutti (ma proprio tutti!) i numeri reali.
Se fosse vero, potrei creare un numero incrementando la prima cifra decimale del primo numero, la seconda del secondo numero, e così via (se il numero è 9, scrivo 0):
| Insieme1 | Insieme2 |
|---|---|
| 1 | 0,3745328945… |
| 2 | 0,2346869238… |
| 3 | 0,2793459273… |
| 4 | 0,9002134823… |
| … | … |
Procedendo all'infinito per tutte le cifre decimali, otterrei un numero che sicuramente ha almeno una cifra diversa da qualunque altro numero già elencato, cioè otterrei un numero che non è in elenco. Ma siccome avevo ipotizzato che l'elenco contenesse tutti (ma proprio tutti!) i numeri reali, ottengo un paradosso.
In altre parole, ho dimostrato che l'insieme dei numeri reali è "più infinito" dell'insieme dei numeri naturali.
Potrebbe sembrare una dimostrazione tutto sommato semplice, se si può scrivere in poche righe, ma è stata inventata solo verso la fine del 1800 dal tedesco Georg Cantor, e ancora nel 1900 un altro matematico - David Hilbert - sfidava i matematici dell'epoca a capire se questi sono gli unici due infiniti possibili.
Si può tranquillamente affermare che l'argomento diagonale di Cantor sia una di quelle trovate per produrre le quali è servito un genio, ma che per essere compresa successivamente non servono grandi studi.