Studio di una funzione: (1-3x)/(x-1)

Funzione tratta da http://matepratica.tutorando.com

$\frac{1-3x}{x-1}$

Dominio

Il dominio è ℝ tranne i valori di x per cui il denominatore è zero.

In questo caso x-1=0 ⇒ x=1.
Il dominio è quindi ℝ\{1}

Zeri

La funzione vale zero quando il numeratore vale zero e x è nel dominio.

In questo caso 1-3x=0 ⇒ x=1/3.
P₁ = (1/3, 0)

Quando x = 0, il punto (0, -1) interseca l'asse delle ordinate.
P₂ = (0, -1)

Simmetrie

$\frac{1-3\left(-x\right)}{\left(-x\right)-1}=\frac{1+3x}{-x-1}$

che è diverso sia da f(x) sia da -f(x).
Quindi la funzione non è né pari né dispari.

Segno

Il segno è positivo quando c'è concordanza di segni tra il numeratore e il denominatore.

                        1/3     1
Num: 1-3x>0 ⇒ x<1/3  +      -      -
-------------------------+------+------
Den: x-1>0 ⇒ x>1     -      -      +
-------------------------+------o------
f(x)                 -   |   +  φ   -

Limiti

Si dimostra che

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x-1}=+\infty$

Significa che per ogni m∈ℝ, per quanto grande sia,

$\frac{1-3x}{x-1}-1>m$

sviluppando,

$\frac{1-3x-x+1}{x-1}>m$

sommo:

$\frac{2-4x}{x-1}>m$

sottraggo m da entrambi i membri:

$\frac{2-4x}{x-1}-m>0$

sviluppo:

$\frac{2-4x-\mathrm{mx}+m}{\sout{x-1}}>0$

raccolgo -x:

$2-x\left(4+m\right)+m>0$

poi:

$-x\left(4+m\right)>-2-m$

cambio segno e inverto il senso:

$x\left(4+m\right)<2+m$

divido entrambi per 4+m:

$x<\frac{2+m}{4+m}$

Con m=0 x<1/2, con m che cresce all'infinito, la parte destra si avvicina sempre di più a 1/1.

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Si dimostra che

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1-3x}{x-1}=-\infty$

per vie brevi:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1-3x}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sout{x}\left(\frac{1}{x}-3\right)}{\sout{x}\left(1-\frac{1}{x}\right)}\Rightarrow \underset{x\to 1^{+}}{\lim }=-\frac{3}{0}$

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Si dimostra che

$\underset{x\to {\mathrm{\infty }}^{\pm }}{\lim }\frac{1-3x}{x-1}=-3$

per vie brevi:

$\underset{x\to {\mathrm{\infty }}^{\pm }}{\lim }\frac{1-3x}{x-1}=\underset{x\to {\mathrm{\infty }}^{\pm }}{\lim }\frac{\sout{x}\left(\boxed{\frac{1}{x}}-3\right)}{\sout{x}\left(1-\boxed{\frac{1}{x}}\right)}\Rightarrow \underset{x\to {\mathrm{\infty }}^{\pm }}{\lim }=-\frac{3}{1}$

1/x tende a zero al crescere di x, quindi il limite è -3, sia per +∞ sia per -∞

Asintoti

Sono presenti un asintoto verticale in corrispondenza di x=1 e un asintoto orizzontale per y=-3.

Minimi e massimi

La derivata di una funzione razionale è data dalla formula:

$\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)\text{'}=\frac{f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)\right)}^2}$

Nel nostro caso:

	f(x)	g(x)
funz.	1-3x	x-1
der.	-3	1

Dato che interessa lo studio del segno, conviene non sviluppare il denominatore (g(x)²)

$\frac{\sout{-3x}+3-1\sout{+3x}}{{\left(x+1\right)}^2}$

Sia il numeratore sia il denominatore sono sempre positivi, quindi la funzione è sempre crescente.

Punti di flesso

La derivata seconda della funzione è

	f(x)	g(x)
funz.	2	(x+1)^2
der.	0	2x+2

Anche senza sviluppare, essendo tutti valori non negativi la funzione non ha punti di flesso ed è sempre convessa.