Studio di funzione: x2–4x+3×2–6x+8

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8}$

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Dominio

Determino dove il denominatore è zero:

$\frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

Dom: ℝ\{2, 4}

Dal momento che le radici del numeratore sono diverse da quelle del denominatore (vedi sotto: 3, 1), possiamo dire che in x=2 e x=4 sono presenti due asintoti verticali.

Intersezioni con gli assi

Determino dove il numeratore è zero:

$\frac{4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

Gli zeri sono in corrispondenza di x=1 e x=3:
P₁ = (1, 0)
P₂ = (3, 0)

È facile verificare che l'intersezione con il punto y è a x=0 e y=3/8.

Parità

Una funzione di secondo grado con il fattore di primo grado diverso da zero è sempre né pari né dispari.
La divisione di due funzioni di secondo grado diverse tra loro non è né pari né dispari.

Segno

Il segno è determinato dal prodotto dei segni del numeratore e del denominatore.
Essendo entrambe funzioni con il primo termine > 0, sono positive per gli intervalli esterni agli zeri e negative per quelli interni:

1 2 3 4 x^2-4x+3 + | - | - | + | + x^2-6x+8 + | + | - | - | + ------------+---+---+---+--- f(x) + | - | + | - | +

f(x) > 0 ⇒ x < 1 ⋃ 2 < x < 3 ⋃ x > 4
f(x) < 0 ⇒ 1 < x < 2 ⋃ 3 < x < 4

Limiti

I limiti da verificare sono:

limite a ±∞
limite destro e sinistro a +2 e +4
limiti obliqui?

$\lim_{x \to ±∞} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8} = \lim_{x \to ±∞} \frac{x^{2} (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} (1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$

Di questo sviluppo, x^2 al numeratore si semplifica con quello al denominatore; le frazioni n/x^m tendono a zero e si possono ignorare.
Resta un 1/1, che fa da limite sia a +∞ sia a -∞

$\lim_{x \to 2^{\pm}} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8} = \frac{-1}{0^{\pm}} = ∓∞$

$\lim_{x \to 4^{\pm}} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 6 x + 8} = \frac{+3}{0^{\mp}} = ∓∞$

Sia a +2 sia a +4 non esiste UN limite, ma una coppia di limiti, entrambi a ±∞

Minimi e massimi

Calcolo della derivata di una frazione.

Formula generale per il calcolo della derivata di una espressione razionale (f(x) è il numeratore, g(x) il denominatore):

$\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{{g(x)}^{2}}$

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$f' (x) = 2 x - 4$

$g (x) = x^{2} - 6 x + 8$

$g' (x) = 2 x - 6$

$\frac{(2 x - 4) (x^{2} - 6 x + 8) - (x^{2} - 4 x + 3) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 8)}^{2}}$

Sviluppo il numeratore, lascio così com'è il denominatore:

$\frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x - 4 x^{2} + 24 x - 32 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x^{2} - 24 x - 6 x + 18}{{(x^{2} - 6 x + 8)}^{2}} = \frac{- 2 x^{2} + 10 x - 14}{{(x^{2} - 6 x + 8)}^{2}}$

Siccome il denominatore è sempre positivo (è il quadrato di qualcosa, quindi è SEMPRE positivo o zero), detta il segno il numeratore.
Il Δ del numeratore è:

$100 - 4 \cdot (-2) (-14) = 100 - 112 < 0$

Con un Δ < 0 non esistono né minimi locali né massimi locali.

In parole poco precise ma molto descrittive, la funzione "scende" sempre.

Punti di flesso

Per derivare un polinomio al quadrato il risultato è f'(x) f(x)
quindi: ((x^2-6x+8)^2 )' = 2(2x-6)(x^2-6x+8)

La derivata del numeratore invece è -4x+10

Facciamo due conti:

$\frac{(- 4 x + 10) {(x^{2} - 6 x + 8)}^{2} - (- 2 x^{2} + 10 x - 14) 2 (2 x - 6) (x^{2} - 6 x + 8)}{{(x^{2} - 6 x + 8)}^{43}}$