Il problema che la distribuzione binomiale si propone di risolvere riguarda la probabilità che in una popolazione divisibile in successi e insuccessi si ottengano k successi a fronte di n estrazioni con reinserimento.
Rispetto all'esempio della distribuzione ipergeometrica, in cui a fronte di una popolazione di 30 persone di cui 17 maschi e 13 femmine, vorrei sapere la probabilità di chiamare per un'interrogazione esattamente 2 maschi su 3 persone, nella distribuzione binomiale possiamo immaginare di chiamare una sola persona per materia, interrogando 3 volte.
Di conseguenza, lo stesso studente può essere chiamato più volte e tutto il conteggio diventa molto più semplice, mentre il ragionamento sottostante è praticamente uguale.
Ho 30 studenti, 17 maschi, 13 femmine, interrogo nella prima materia: ottengo 17/30 probabilità di avere un maschio K/N contro 13/30 di avere una femmina (1-K)/N
Per la seconda e la terza materia è uguale, perché lo studente chiamato torna a posto e ritorna disponibile per un'altra interrogazione. Si può dire che le tre materie siano commutative.
La probabilità di ottenere due maschi e una femmina è il prodotto di:
-
- tre: il numero di casi in cui ho 2M e 1F: MMF, MFM, FMM, calcolato come coefficiente binomiale (2 3)
- 17/30 ripetuto tante volte quante è richiesto un caso di successo: (17/30)2
- 13/30 ripetuto tante volte quante è richiesto un caso di insuccesso: (13/30)1
La formula generale "scritta bene" è quindi:
Scritta ancora meglio, se P = K/N, cioè P rappresenta la probabilità di successo: