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Variabile aleatoria
Una variabile aleatoria è una variabile il cui valore non è conosciuto a priori.
Le V.A. possono essere discrete (praticamente ℕ) o continue (praticamente ℝ+).
Ciascun esito può prendere un valore compreso tra 0 e 1, e la somma di tutti gli esiti fa 1. 0 = evento impossibile; 1 = evento certo. P.E. gli esiti di una moneta non truccata sono: 1/2 testa, 1/2 croce.
Spazio campionario
uno spazio campionario è un insieme di valori associati a un esito. Per es. testa = milan, croce = inter ==> milan e inter sono lo spazio campionario.
Reinserimento
Una delle caratteristiche più importanti è se ogni evento è seguito da un reinserimento oppure no.
Per esempio, il lancio di un dado genera un evento (l'uscita di un numero), ma questo non preclude che al lancio successivo possa uscire di nuovo lo stesso numero: in linea di principio potremmo avere n lanci ciascuno sempre con lo stesso numero.
L'estrazione dei numeri di una tombola, viceversa, esclude che l'evento si ripeta.
Le probabilità cambiano completamente, perché nel primo caso la probabilità per ogni evento che esca un numero è 1/6, poi al secondo evento 1/6, poi 1/6 e così via; per il secondo evento la probabilità è 1/90, poi al secondo 1/89 e così via. Quando si arriva ad avere un solo numero nel sacchetto, la probabilità che esca quel numero arriva a 1/1.
V.A. continua
Una V.A. continua è una variabile rappresentabile da un numero reale. In questo caso la probabilità è rappresentata dall'area sottostante il grafico della funzione. A differenza di una funzione generica, una funzione che esprime una probabilità è sempre non negativa; questo significa che possiamo considerare l'integrale sottostante alla stregua di una vera e propria area. Inoltre l'integrale della funzione su tutto il suo dominio ha valore 1: in altre parole, sommando tutti i valori (infiniti) che può prendere la funzione, la probabilità che un evento abbia uno di quei valori è 1 (certezza).
Può capitare che una V.A. continua sia rappresentata da una funzione che ha un certo valore k quando tende a zero, rappresentato da
e poi la funzione decresca sempre di più, in modo che
ma abbia come dominio ℝ+, e quindi "prosegua all'infinito". In questo caso dobbiamo utilizzare un integrale improprio, poiché il dominio non è limitato superiormente. Per esempio la funzione 1/x2 ha integrale da 1 a infinito = 1 e il suo valore è sempre positivo.
Mentre la probabilità di un singolo evento è nulla, poiché ci sono infiniti eventi, la probabilità che un evento ricada tra due numeri diversi è calcolabile come area sottostante, sempre tramite l'integrale.
Per esempio, se la funzione di probabilità è rappresentata da 1/x2, la probabilità che un evento accada tra x = 1 e x = 2 è data da
Funzione di ripartizione
La funzione di ripartizione restituisce la probabilità che si verifichi un evento minore o uguale a un valore dato.
Il valore cresce continuamente, perché in ogni momento la probabilità che si verifichi un evento si somma a tutte le probabilità precedenti.
Per es. la probabilità che esca un numero minore o uguale a 23 alla tombola è 23/90 (1/90 per il numero 1 + 1/90 per il numero 2 + 1/90 per il numero 3 ... + 1/90 per il numero 23).
Nel caso di una funzione continua, la funzione di ripartizione è data dall'integrale da meno infinito a x della funzione.
Valore atteso
Il valore atteso equivale alla media aritmetica.
Varianza
La varianza è un indice (un valore numerico) che indica quanto lontani sono i valori di una V.A. uno dall'altro.
Si calcola facendo la differenza tra la media dei quadrati e i quadrati della media. Una caratteristica della media dei quadrati è che è sempre maggiore del quadrato della media, quindi sottraendo la prima al secondo si ottiene un valore sempre non negativo.
La varianza è un valore che cresce esponenzialmente: quindi la differenza tra la varianza tra due valori vicini e tra due valori lontani cresce in maniera molto veloce.
P.E. la differenza tra la varianza tra 35 e 43 (media: 39, varianza: 16) e tra 34 e 44 (media: 39, varianza: 25) è minore della differenza tra la varianza tra 28 e 50 (media: 39, varianza: 121) e tra 27 e 51(media: 39, varianza: 144)
La formula per la varianza di una variabile aleatoria continua è omologa a quella discreta, ma fa uso di un integrale:
Moda
La moda è il valore più ricorrente in una V.A. discreta.
Nel caso di una V.A. continua, la moda è data dal punto (o dai punti) di massimo della funzione.
Mediana
La mediana è data dal valore intermedio in uno spazio campionario ordinato.
P.E. se lo spazio campionario è [3, 19, 32, 12, 15, 22, 7, 29, 24]
lo spazio campionario con i valori ordinati è [3, 7, 12, 15, 19, 22, 24, 29, 32]
la mediana è il valore centrale dell'elenco: 19.
Se lo spazio campionario ha un numero pari di elementi, la mediana è la media degli elementi centrali.
La mediana può essere ricavata tramite la funzione di ripartizione, ed è il minimo elemento in cui la funzione è ≥ ½.
La mediana di una V.A. continua è il punto in cui la sua funzione di ripartizione vale ½:
Quantili
Lo stesso discorso della mediana vale per i quantili, che rappresentano altre suddivisioni dello spazio campionario: i quartili indicano una suddivisione in quattro, i centili in cento e così via.