La prima lezione ha riguardato:
- retta dei reali
- dimostrazione per assurdo che √2 ∈ ℝ ma non ∈ ℚ
- definizione di maggiorante e minorante
- definizione di intervallo aperto e chiuso (e misto)
- definizione di massimo e minimo
- definizione di estremo superiore e inferiore
- definizione di intorno
- definizione di valore assoluto
- definizione di distanza
Indice dei contenuti
1. Retta dei reali
Si parte dalla retta degli interi (non è stata affrontata la differenza tra ℕ e ℤ): si divide la retta in unità identiche, in un senso e nell'altro.
Per ogni unità si può procedere con un frazionamento in n parti uguali con n ∈ ℕ, e poi se ne prendono una quantità m, con m ∈ ℤ. Si può quindi scrivere una frazione n/m; solitamente si scrive nella sua forma "irriducibile", in cui n e m sono primi tra loro. L'insieme di tutti i numeri che si possono scrivere come n/m è detto insieme dei numeri razionali (ℚ).
L'insieme ℚ non è sufficiente a coprire tutti i punti della retta, anche se, dato un numero n ∈ ℚ posso sempre trovare un numero m ∈ ℚ che si avvicina "quanto voglio".
Nota: ℝ+ è l'insieme di tutti i numeri reali positivi, come ℝ- è l'insieme dei reali negativi.
ℝ* è l'insieme dei reali escluso lo zero.
2. dimostrazione per assurdo che √2 ∈ ℝ ma non ∈ ℚ
Il numero √2 è un esempio di numero che appartiene alla retta ma non appartiene a ℚ perché non è scrivibile come n/m.
Dim
Dimostrazione per assurdo: assumiamo √2 ∈ ℚ, in questo caso esistono due n, m ∈ ℤ primi tra loro tali che √2 = n/m (in forma irriducibile, per semplicità).
In questo caso n = m √2 ⇒ n² = m² 2 ⇒ n² è pari, e quindi lo è anche n.
Assumiamo quindi x = n/2 con x ∈ ℤ.
In questo caso n² = m² 2 ⇒ 2²x² = 2m² ⇒ 2x² = m² ⇒ m è pari, come n, il che contraddice la premessa che n/m sia irriducibile.
La dimostrazione per la forma riducibile implica solo una ricorsione della dimostrazione stessa.
3. definizione di maggiorante e minorante
Dato un insieme A ≠ ∅, A ⊂ ℝ, dato un numero m ∈ ℝ è detto maggiorante per A se ∀ a ∈ A, a ≤ m.
Dato un insieme A ≠ ∅, A ⊂ ℝ, dato un numero m ∈ ℝ è detto minorante per A se ∀ a ∈ A, a ≥ m.
4. definizione di intervallo aperto e chiuso (e misto)
Si dice intervallo aperto (a, b) un insieme A ≠ ∅, A ⊆ ℝ tale che ∀ n ∈ A n > a e n < b
Si dice intervallo chiuso [a, b] un insieme A ≠ ∅, A ⊆ ℝ tale che ∀ n ∈ A n ≥ a e n ≤ b
Esistono anche intervalli senza limite, per esempio [a, +∞( significa ∀ n ∈ A n ≥ a
5. definizione di massimo e minimo
Dato un insieme A ≠ ∅, A ⊂ ℝ, dato un numero m ∈ A è detto massimoper A se ∀ a ∈ A, a ≤ m.
Dato un insieme A ≠ ∅, A ⊂ ℝ, dato un numero m ∈ A è detto minimo per A se ∀ a ∈ A, a ≥ m.
6. definizione di estremo superiore e inferiore
Dato un insieme A ≠ ∅, A ⊂ ℝ, è detto estremo superiore il minimo dei maggioranti di A.
Dato un insieme A ≠ ∅, A ⊂ ℝ, è detto estremo inferiore il massimo dei minoranti di A.
Gli estremi esistono se il rispettivo limite esiste (insieme limitato), in caso contrario l'insieme non ha estremo.
Per esempio [a, +∞( ha come estremo inferiore a ma non ha estremo superiore.
7. definizione di intorno
Dato un numero a ∈ ℝ, si definisce intorno di a un sottoinsieme di ℝ che contiene un intervallo (a-r, a+r) con r ∈ ℝ e r > 0.
Altrimenti, I = (a-r, a+r) {x │ |x-a| < r}
8. definizione di valore assoluto
Dato un numero a ∈ ℝ, si definisce valore assoluto di a:
se a ≥ 0 ⇒ a
se a < 0 ⇒ -a
|x±y| ≤ |x| + |y|
Equivale al concetto di "distanza".
9. definizione di distanza
Dato Χ un insieme, una distanza su Χ è una funzione Χ x Χ → ℝ tale che:
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(x, y) = d(y, x) (proprietà simmetrica)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) (proprietà triangolare)