Integrali: Cassetta degli attrezzi / 1

Svolgendo gli utilissimi esercizi con soluzioni del Politecnico di Torino, ho fatto una breve classificazione di cosa bisogna sapere per risolvere gli integrali (non tutti ma molti).

Nota: a fianco di ogni "attrezzo della cassetta" ho messo un soggettivo criterio di "pippaggine mentale", per cui un asterisco = ragionevole; 2 asterischi = difficile; 3 asterischi = fantasia malata

Potenze *

La prima cosa, importantissima, è riuscire a trasformare un'espressione in una potenza. Per fare questo bisogna:

1. Moltiplicare la primitiva per
   $\frac{1}{1+\mathrm{n}}$
2. Elevare alla n+1

Per esempio, l'integrale di una potenza "secca":

$\int x^5\mathrm{dx}=\frac{1}{6}{x}^6+C$

o, scritto in un'altra maniera:

$\frac{x^6}{6}+C$

Se invece si è di fronte alla potenza di un'espressione diversa dalla semplice x, bisogna che sia presente la derivata dell'espressione (nell'esempio, la primitiva in blu, la derivata in verde):

$\int 2x·{\left(x^2-1\right)}^5\mathrm{dx}=\frac{1}{6}{\left(x^2-1\right)}^6+C$

Proprietà delle potenze

Due cose importanti da ricordare:

$\frac{1}{x}=x^{-1}$

e l'altra:

$\sqrt[\mathrm{n}]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

È molto più comodo, quando si calcolano gli integrali, "tradurre" sempre 1/f(x) in f(x)^-1 e √x in x^1/2. Facciamo qualche esempio:

$\frac{1}{{\left(x-3\right)}^3}={\left(x-3\right)}^{-3}$

Altro esempio:

$\sqrt[5]{{\left(x-5\right)}^3}={\left(x-5\right)}^{\frac{5}{3}}$

Nell'ultimo esempio avevamo sia una radice sia una potenza: si può esprimere come potenza razionale, nella forma n/m.
Nulla vieta che una potenza (o radice) sia anche irrazionale (ma la dimostrazione che le regole per esponenti ∈ℚ siano le stesse di ℝ non è banale):

$\sqrt[\mathrm{e}]{{\left(x-5\right)}^{\mathrm{\pi }}}={\left(x-5\right)}^{\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{e}}}$

Moltiplicare per uno / prima parte **

Ebbene sì: uno dei "trucchi" più importanti per risolvere gli integrali è... moltiplicare per uno!

Il fatto è che anche 7/7 è uno.

E anche 1/7 x 7 è uno.

E una costante si può "estrarre" dall'integrale senza problemi.

$\int 5x·{\left(x^2-1\right)}^5\mathrm{dx}$

In questo esempio a noi farebbe molto più comodo avere un 2 al posto del 5, quindi... moltiplichiamo per 2/5 e 5/2, ed estraiamo 5/2:

$\int \frac{2}{5}·\boxed{\frac{5}{2}}5x·{\left(x^2-1\right)}^5\mathrm{dx}=\frac{5}{2}\int \frac{2}{\sout{5}}\sout{5}x·{\left(x^2-1\right)}^5\mathrm{dx}=\frac{5}{2}·\frac{1}{6}{\left(x^2-1\right)}^6+C=\frac{5}{12}{\left(x^2-1\right)}^6+C$

Logaritmo *

Quando si integra un'espressione che ha al numeratore la derivata del denominatore, l'integrazione consiste nel logaritmo del denominatore.

Siccome l'argomento del logaritmo deve sempre essere positivo, il denominatore si mette in valore assoluto, se non è per sua natura > 0.

$\int \frac{2x}{x^2+4}\mathrm{dx}=log|x^2+4|$

Arcoseno e arcotangente **

Ricordare sempre i due integrali notevoli:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=arcsen\left(x\right)$

e

$\int \frac{1}{1+x^2}=arctan\left(x\right)$

da qui possiamo ricavare, scrivendo al denominatore la derivata di f(x) e al posto di x^2 → f(x)^2, le primitive di arcoseno e arcotangente di funzioni.

$\int \frac{f\left(x\right)\text{'}}{\sqrt{1-{f\left(x\right)}^2}}=arcsen\left(f\left(x\right)\right)$

e

$\int \frac{f\left(x\right)\text{'}}{1+{f\left(x\right)}^2}=arctan\left(f\left(x\right)\right)$

Su questo c'è un esempio nell'articolo dedicato.

Funzioni composte *

Riconoscendo lo schema della funzione composta, si può applicare la "regoletta":

f(g(x))' = f'(g(x)) g'(x)

Per esempio:

$\int 7xcos\left(3x^2-5\right)\mathrm{dx}$

La chiave dell'esercizio è intuire che la derivata di 3x^2 è 6x, ma abbiamo a disposizione 7x. Moltiplicando per 7/6 e per 6/7 possiamo "cambiare" 7x in 6x:

$\frac{7}{6}\int 6xcos\left(3x^2-5\right)\mathrm{dx}$

dove 6x è g(x)', cos(y) è f(y)' e 3x²-5 è g(x).

A questo punto basta ricordare la primitiva di cos(x) (che è sen(x)) e comporla con 3x²-5 e abbiamo la soluzione:

$\frac{7}{6}\left(3x^2-5\right)+C$

Integrazione per parti **

Come conseguenza della derivazione di un prodotto, si ottiene l'integrazione per parti:

$\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)\text{'}=f\left(x\right)\text{'}·g\left(x\right)+f\left(x\right)·g\left(x\right)\text{'}$

da cui

$f\left(x\right)\text{'}·g\left(x\right)=\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)\text{'}-f\left(x\right)·g\left(x\right)\text{'}$

integrando tutte le parti:

$\int f\left(x\right)\text{'}·g\left(x\right)=\int \left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)\text{'}-\int f\left(x\right)·g\left(x\right)\text{'}$

posso semplificare l'integrale della derivata (in rosso) e riscrivere così:

$\int f\left(x\right)\text{'}·g\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)-\int f\left(x\right)·g\left(x\right)\text{'}$

che è esattamente la formula dell'integrazione per parti.

La formula è semplice. L'unica accortezza è scegliere correttamente quale parte integrare e quale derivare!

Esempio

$\int xsen\left(x\right)\mathrm{dx}$

	Primitiva	Derivata
f	x	1
g	-cos(x)	sen(x)

sen(x), in grassetto nel prospetto, "sparisce", ma soprattutto la x è "estratta" dall'integrale.

"Fuori" dall'integrale si ritrovano x e -cos(x), mentre "dentro" l'integrale si ritrovano 1 (che "sparisce") e -cos(x):

$-xcos\left(x\right)-\int -cos\left(x\right)\mathrm{dx}$

Il - "esterno" e il - "interno" si possono semplificare in un +.
L'integrale di cos(x) è banalmente sen(x), quindi la soluzione è

$sen\left(x\right)-xcos\left(x\right)+C$

Altro esempio. Quando è presente e^x o qualcosa di simile, l'integrazione per parti è molto semplice, perché è possibile derivare o integrare e^x all'infinito senza difficoltà.

$\int 2x·e^{\mathrm{-x}}\mathrm{dx}$

2 si porta fuori:

$2\int x·e^{\mathrm{-x}}\mathrm{dx}$

poi si procede per parti:

	Primitiva	Derivata
f	x	1
g	-e-x	e-x

$-2x{e}^{\mathrm{-x}}-\int -e^{\mathrm{-x}}\mathrm{dx}=-2x{e}^{\mathrm{-x}}+\int e^{\mathrm{-x}}\mathrm{dx}=-2x{e}^{\mathrm{-x}}-e^{\mathrm{-x}}+C$

Raccogliendo -2e^-x:

$-2e^{\mathrm{-x}}\left(x+1\right)+C$

Moltiplicare per uno / seconda parte ***

Un "trucchetto" per integrare per parti è di aggiungere alla funzione da integrare una... moltiplicazione per uno!

Bisogna ricordare che nel caso estremo in cui sia presente solo uno, l'integrale è x. Per convincersene basta vedere l'integrale (se positivo) come rappresentazione di una superficie.

$\int 1\mathrm{dx}=\int \mathrm{dx}=x+C$

Un integrale di questo genere è estremamente difficile da risolvere direttamente:

$\int log\left(x+1\right)\mathrm{dx}$

ma se lo immaginiamo come 1 per log(x+1) si può risolvere per parti:

$\int 1·log\left(x+1\right)\mathrm{dx}$

	Primitiva	Derivata
f	log(x+1)	1/(x+1)
g	x	1

Riporto "fuori" le due primitive e dentro la primitiva di 1 e la derivata di log(x+1):

$xlog\left(x+1\right)-\int x·\frac{1}{x+1}\mathrm{dx}$

A questo punto aggiungiamo e togliamo 1/(x+1) ****

$xlog\left(x+1\right)-\int \frac{x+1-1}{x+1}\mathrm{dx}$

e poi separiamo x+1 da -1, facendone due integrali diversi:

$xlog\left(x+1\right)-\int \frac{x+1}{x+1}\mathrm{dx}-\int \frac{-1}{x+1}\mathrm{dx}$

Il primo pezzo è l'integrale di dx, che vale 1; il secondo pezzo è 1/log(x+1), che vale log|x+1|

Il risultato finale è quindi:

$xlog\left(x+1\right)-x-log|x+1|+C$