Quando il bel bambino con il faccino sorridente estrae un numero al Lotto, ancora non sa che sta per applicare il coefficiente binomiale.
Quello che sa, è che quando estrae una pallina con il numeretto sopra, sta estraendo un numero tra 90, e quindi dopo la prima estrazione ha determinato un sistema determinato su 90 possibili (un sistema è: esce 1, un sistema è: esce 2, un sistema è: esce 3... eccetera... un sistema è: esce 90).
Quando estrae due palline, determina uno tra 90*89 sistemi possibili, perché la prima pallina ha una probabilità su 90 di essere estratta, ma la seconda solo una su 89.
Facciamo l'esempio di due numeri: 17 e 88. Potrebbero uscire 17 e 88 oppure 88 e 17, e la vincita sarebbe la stessa. Aggiungendo un terzo numero, per es. 45, la vincita ci sarebbe con 17, 45, 88 oppure 17, 88, 45 oppure 45, 17, 88 oppure 45, 88, 17 oppure 88, 17, 45 oppure 88, 54, 17. Va bene qualunque delle sei.
E con quattro numeri? Se il quarto è 23, abbiamo 24 combinazioni:
- 17, 23, 45, 88
- 17, 23, 88, 45
- 17, 45, 23, 88
- 17, 45, 88, 23
- 17, 88, 23, 45
- 17, 88, 45, 23
- 23, 17, 45, 88
- 23, 17, 88, 45
- 23, 45, 17, 88
- 23, 45, 88, 17
- 23, 88, 17, 45
- 23, 88, 45, 23
- 45, 17, 23, 88
- 45, 17, 88, 23
- 45, 23, 17, 88
- 45, 23, 88, 17
- 45, 88, 17, 23
- 45, 88, 23, 17
- 88, 17, 23, 45
- 88, 17, 45, 23
- 88, 23, 17, 45
- 88, 23, 45, 17
- 88, 45, 17, 23
- 88, 45, 23, 17
La funzione che descrive questo andamento è n!, cioè ogni numero in più moltiplica il prodotto precedente:
1 => 1
2 => 2 (2*1)
3 => 6 (3*2)
4 => 24 (6*4)
5 => 120 (24*5)
6 => 720 (120*6)
...
E quale funzione descrive il denominatore?
Alla prima estrazione le combinazioni possibili sono 90, alla seconda sono 90*89, alla terza sono 90*89*88 eccetera eccetera.
Le estrazioni saranno quindi:
- 1/90
- 2/8010
- 6/704880
- 24/61324560
- 120/5273912160 = 0,0000000227
Ma cosa succederebbe se il bambino continuasse a estrarre tutti i numeri, uno alla volta?
A 89 numeri estratti resterebbe un solo numero, e ci sarebbe la certezza che il 90° numero estratto sia proprio quello! Quante probabilità ci sono che quel numero sia - per esempio - 49? Esattamente una su 90.
E cosa succede quando mancano da estrarre due numeri? Quante probabilità ci sono che siano estratti per ultimi proprio il 49 e l'81? Sono 2/8010.
Per riepilogare tutto, al numeratore la formula è n!, mentre al denominatore è "il contrario" del fattoriale, cioè il fattoriale non partendo da 1, ma dal numero più alto verso giù per tante volte quante sono le estrazioni.
Per ottenere questo numero, basta dividere il fattoriale del numero totale di palline (90! è circa 1 seguito da 138 zeri) per il fattoriale del numero di palline meno il numero di estrazioni (85! è circa 3 seguito da 128 zeri)