Distribuzione ipergeometrica

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Quando si usa

Conosciamo la composizione della popolazione
Si può dividere in due nettamente la popolazione
Non c'è reinserimento

Esempi

Un software consiste di 12 programmi, 5 dei quali necessitano di un upgrade. Se vengono scelti a caso 4 programmi per un test. Qual è la probabilità che almeno 2 di essi siano da aggiornare? Qual è il numero medio di programmi da aggiornare tra i 4 scelti?

Formula

X = Variabile aleatoria che conta il numero di successi
n = numero di estrazioni
N = numero di elementi
K = numero di elementi "successo" (successo significa che è vero per il criterio. Per es. se cerchiamo un bug in un programma, "successo" significa che è stato trovato)
X˜I_p(N, K, n) = distribuzione ipergeometrica (I) in N campioni di K successi per n estrazioni
k = ciascuno dei numeri compresi tra max{0, n-(N-K)} e min{n, K}.
max{0, n-(N-K)} significa che se faccio più estrazioni di quanti siano i casi di non-successo, sono sicuro di estrarre almeno un successo (es. bianco = successo, rosso = insuccesso; ho un'urna con 4 bianche e 5 rosse, faccio 6 estrazioni)
min{n, K} il ragionamento è analogo

$P (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}$

Soluzione dell’esempio

N = 12 (il numero di programmi della popolazione)
n = 4 (il numero di estrazioni)
K = 5 (il numero di successi)
X ≥ 2 (almeno due casi di successo, richiede il maggiore/uguale)

P(X≥2) = P(X≤1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))

$1 - \frac{(\binom{5}{0}) (\binom{12 - 5}{4 - 0})}{(\binom{12}{4})} - \frac{(\binom{5}{1}) (\binom{12 - 5}{4 - 1})}{(\binom{12}{4})} = 1 - \frac{(\binom{7}{4})}{(\binom{12}{4})} - \frac{5 (\binom{7}{3})}{(\binom{12}{4})}$

Dal momento che un coefficiente binomiale si calcola così:

$(\binom{m}{n}) = \frac{m!}{n! (m - n)!}$

e che

$(\binom{m}{0}) = 1$

e che

$(\binom{m}{1}) = m$

otteniamo che

$(\binom{7}{4}) = 35$
$(\binom{7}{3}) = 35$
$(\binom{12}{4}) = 495$

Con qualche passaggio otteniamo:

$1 - \frac{35}{495} - \frac{5 * 35}{495} = \frac{19}{33}$