Derivata di $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2+a^2}$

$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2+a^2}$

La derivata di una frazione segue la regola per cui se h(x) è il numeratore e g(x) il denominatore, e quindi f(x) = h(x) / g(x), si ha che

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{h\text{'}\left(x\right)*g\left(x\right)-h\left(x\right)*g\text{'}\left(x\right)}{{g\left(x\right)}^2}$

Nel nostro caso:

	funzione	derivata
f(x)	$\sqrt{x^2-a^2}$	$\frac{\sout{2}x}{\sout{2}\sqrt{x^2-a^2}}$
g(x)	$x^2+a^2$	$2x$

nota: la derivata di x²+a² è 2x, e non 2x+2a, perché a è una costante (altrimenti la funzione sarebbe stata dichiarata come f(x, a) e sarebbe stata una funzione a due variabili)

Si ottiene:

$(\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}*x^2+a^2-2x\sqrt{x^2-a^2})*\frac{1}{{\left(x^2+a^2\right)}^2}$

che diventa:

$$ \frac{x(x^2+a^2)-\sqrt{x^2-a^2}*\sqrt{x^2-a^2}*2x}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$$

si moltiplicano i due termini uguali sotto radice (in viola):

$$ \frac{x(x^2+a^2)-\left(x^2-a^2\right)*2x}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$$

raccogliamo x al numeratore (in marrone):

$$ \frac{x(x^2+a^2-2x^2+2a^2)}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$$

e infine facciamo le somme:

$\frac{x(-x^2+3a^2)}{\sqrt{x^2-a^2}*{\left(x^2+a^2\right)}^2}$

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