Convessità

Che un insieme sia convesso è determinato dal fatto che scelti due punti qualunque dell'insieme, tutti i punti della retta che li congiunge sono all'interno dell'insieme stesso.

Formalmente, dati due punti x e y appartenenti all'insieme, che chiameremo C, e un valore α compreso tra 0 e 1, vale la seguente:

αx+(1-α)y ∈ C

Proposizione 5.1

Dati gli insiemi convessi C₁...C_n, con n≥1, allora l'intersezione tra tutti gli insiemi

$\underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}{C}_i$

è un insieme convesso.

Dimostrazione

Se C è vuoto o contiene un solo elemento, la proposizione è immediatamente verificata.

Se contiene due elementi, per ciascuno degli insiemi C₁...C_n vale che i due punti appartengono all'insieme.

È interessante osservare come il concetto di convessità si possa estendere anche a dimensioni superiori a 2, per esempio una sfera tridimensionale è convessa, e anche gli omologhi della sfera su più di tre dimensioni lo sono.

Definizione 5.2

...ovvero come capire se una funzione è concava o convessa.

Quando mi trovai di fronte per la prima volta a questo concetto, stavo studiando la derivata seconda di una funzione.

"In pratica - mi dicevo, per ricordare - se guido sopra la funzione e giro sempre a sinistra, la funzione è convessa, se giro a destra è concava. Se passo da sinistra a destra o viceversa, l'istante in cui il volante è dritto è il punto di flesso, dove la derivata seconda vale zero".

Un altro modo per capire se la funzione è convessa o concava, che concettualmente è più semplice della derivata seconda, è che se prendo due punti diversi tra loro della stessa funzione e li unisco con una linea retta, se la retta sta sopra la funzione, è convessa; se sta sotto è concava.

Formalmente, è convessa se:

f(αx+(1-α)y) ≤ αf(x)+(1-α)f(y), ∀α∈[0,1]

La parte a sinistra indica il valore della funzione in tutti i punti compresi tra x e y, la parte destra indica tutti i punti della retta che inizia in f(x) e termina in f(y).

Proposizione 5.3

Data la funzione f(x) con f:ℝⁿ→ℝ, sia f(x) convessa su ℝⁿ. L'insieme di livello (eventualmente vuoto) L_γ definito mediante la
L_γ = {x ∈ ℝⁿ : f(x) ≤ γ}
è convesso per ogni γ ∈ ℝ

In altre parole, definito un insieme di livello come l'insieme di tutti i punti minori o uguali di f(x) (stiamo parlando di codominio di una funzione ℝⁿ→ℝ, quindi di un insieme di punti appartenenti ai reali), se f(x) è convessa, anche L_γ lo sarà.