Esercizio 1
Sia f: ℝ4 → ℝ la funzione lineare definita dalla legge f(x1, x2, x3, x4) = x1 + x2 + x3 + x4. Si dimostri che ker f è un sottospazio vettoriale. Si calcoli dim(ker(f)) e si dia una base di ker f.
ker f è l'insieme dei vettori tali che f(x1, x2, x3, x4) = 0. Il nucleo di un'applicazione lineare è sempre un sottospazio vettoriale.
dim(ker f) è data dalla dimensione dello spazio del dominio meno quella del codominio, quindi dim(ℝ4) - dim(ℝ) = 3.
Una base di ker f è data da tre vettori linearmente indipendenti, per esempio V1=(1, 1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (0, 0, 0, 1)